Reste dans la division euclidienne par 5

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Déterminer le reste de la division eculidienne de ${8642}^{2468}$ par 5.


Correction

Correction

On a tout d'abord $8462\equiv2[5]$, et donc
\[\begin{array}{ll}8642&=864\tm10+2\\ &=(864\tm2)\tm5+2\\ &\equiv2\,[5]\enar\]

De plus, on les congruences des puissances successives:
  • $2^2\equiv4[5]$
  • $2^3\equiv3[5]$
  • $2^4\equiv1[5]$
et donc $2468=2\tm1234=4\tm617$ d'où
\[2^{2468}=\lp2^4\rp^{617}\equiv1^{617}[5]\]

d'où
\[8642^{2468}\equiv 1[5]\]

et le reste de la divsion euclidienne par 5 est donc 1.


Tag:Division euclidienne - Congruences

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