Divisibilité par 7, par récurrence

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le nombre $3^{2n+1}+2^{4n+2}$ est divisible par 7.


Correction

Correction

On démontre cette propriété par récurrence. On note $u_n$ le nombre
\[u_n=3^{2n+1}+2^{4n+2}\]

et $P_n$ la propriété: « $u_n$ est divisible par 7»

Initialisation: Pour $n=0$, on a $u_0=3^1+2^2=7$ qui est bien divisible par 7.
La propriété $P_0$ est donc bien vraie.

Hérédité: Supposons que pour un entier $n$, $P_n$ soit vraie, c'est-à-dire que $u_n=3^{2n+1}+2^{4n+2}$ est divisible par 7.
Alors, au rang suivant,
\[\begin{array}{ll}u_{n+1}=3^{2(n+1)+1}+2^{4(n+1)+2} =3^{2n+3}+2^{4n+6}\enar\]


On cherche à faire intervenir $u_n$ et donc on écrit
\[u_{n+1}=3^{2n+1}\tm3^2+2^{4n+2}\tm2^4\]

or on a $3^2=9\equiv2\,[7]$ et $2^4=16\equiv2\,[7]$, et donc
\[u_{n+1}\equiv3^{2n+1}\tm2+2^{4n+2}\tm2\,[7]\]

et en factorisant par 2 on retrouve justement $u_n$:
\[u_{n+1}\equiv2u_n\,[7]\]

Or, par hypothèse de récurrence on a supposé que $u_n\equiv0\,[7]$ et donc on a aussi par conséquent
\[u_{n+1}\equiv0\,[7]\]

ce qui montre que la propriété $P_{n+1}$ est encore vraie.

Conclusion: On vient de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, le nombre $u_n=3^{2n+1}+2^{4n+2}$ est divisible par 7.


Tag:Division euclidienne - Congruences

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