Multiple de 13

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que $5^{4n}-1$ est un multiple de 13.


Correction

Correction

Un entier $x$ est multiple de 13 si et seulement si $x\equiv0[13]$.

On a $5^2=25\equiv -1 [13]$ et donc $5^4=\left( 5^2\rp^2 \equiv (-1)^2 [13] \equiv 1 [13]$
et ainsi $5^{4n}=\left( 5^4\rp^n\equiv 1 [13]$.
On en déduit donc que
\[5^{4n}-1\equiv 0 [13]\]

ce qui signifie exactement que $5^{4n}-1$ est un multiple de 13.


Tag:Division euclidienne - Congruences

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