Recherche d'un etat stable

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère une chaîne de Markov $\left( X_n\rp$ dans l'espace des états $\Omega=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} e_1;e_2\ra$, dont la matrice $A$ de transition associée est
\[A=\lp\begin{array}{cc}0,1&0,9\\0,4&0,6\enar\rp\]

On note $\pi_n$ la distribution à l'étape des états à l'étape $n$. Initialement $\pi_0=\left( 0,2 \quad 0,8\rp$.
  1. Déterminer $\pi_1$, $\pi_2$ et $\pi_{10}$.
  2. Déterminer les éventuels états stables (ou distributions invariantes).



Correction

Correction


  1. \[\begin{array}{ll}\pi_1&=\pi_0A\\&=\left( 0,2 \quad 0,8\rp\left(\begin{array}{cc}0,1&0,9\\0,4&0,6\enar\rp\\ &=( 0,34 \quad 0,66 )\enar\]

    puis, éventuellement à l'aide d'une calculatrice
    \[\pi_2=\pi_1A=( 0,298 \quad 0,702)\]

    puis
    \[\pi_{10}=\pi_0A^{10}\simeq( 0,3077 \quad 0,6923)\]


  2. Un dstribution stable, ou invariante, est $\pi=(x\quad y)$ avec $x+y=1$ et
    \[\begin{array}{ll}\pi A= \pi &\iff \la\begin{array}{lclcl} 0,1x&+&0,4y&=&x\\ 0,9x&+&0,6y&=&y\enar\right.\\[1.3em] &\iff \la\begin{array}{lclcl} -0,9x&+&0,4y&=&0\\ 0,9x&-&0,4y&=&0\enar\right. \enar\]

    Ces deux équations sont équivalentes (l'opposée l'une de l'autre), et équivalente à
    \[x=\dfrac{0,4}{0,9}y=\dfrac49y\]

    Comme de plus $x+y=1$, on a donc
    \[x+y=\dfrac49y+y=\dfrac{13}9y=1\iff y=\dfrac9{13}\]

    On trouve alors aussi
    \[x+y=1 \iff x=1-y=\dfrac4{13}\]

    La seule distribution invariante est donc $\pi=\lp\dfrac4{13} \quad \dfrac9{13}\rp$


Tag:Chaines de Markov

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