Répartition en deux opérateurs téléphoniques

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.


Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la n-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.


Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\ b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70 \end{cases}$.


On considère les matrices $M = \lp\begin{array}{cc} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \enar\rp$ et $P = \lp\begin{array}{c}60 \\ 70\enar\rp$, et on note, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \lp\begin{array}{cc}a_n \\ b_n\enar\rp$.
    1. Déterminer $U_1$.
    2. Écrire matriciellement le système donnant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$
  2. On note $I$ la matrice $\lp\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\enar\rp$.
    1. Calculer $(I - M)\tm\lp\begin{array}{cc}4 & 2 \\ 1 & 3\enar\rp$.
    2. En déduire que la matrice $I - M$ est inversible et préciser son inverse.
    3. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
  3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - U$.
    Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
    En déduire $V_n$ en fonction de $n$ et de la matrice $M$.
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$,

    \[V_n = \lp\begin{array}{cc} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\[1em] \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \enar\rp\]


    1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_n)$.
    2. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.



Correction

Correction

(Bac S, Polynésie 7 juin 2013)
    1. $U_1 = \lp\begin{array}{cc}a_1 \\ b_1\enar\rp$
      Or $\begin{array}{ll}&\la\begin{array}{rcrcrcc} a_1 &=& 0,7a_0 &+& 0,2b_0 &+& 60 \\ b_1 &=& 0,1a_0 &+& 0,6b_0 &+& 70\enar\right.\\[1.3em] \iff &\la\begin{array}{rcrcrcc} a_1 &=& 0,7 \times 300 &+& 0,2\times 300 &+& 60 \\ b_1 &=& 0,1\times 300 &+& 0,6\times 300 &+& 70 \enar\right.\enar$
      Finalement $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\ 280 \end{pmatrix}$
    2. Pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_n+P$
    1. $(I-M) =\lp\begin{array}{cc}1 - 0,7 & - 0,2 \\ - 0,1 & 1 - 0,6\enar\right) = \lp\begin{array}{cc}0,3 & -0,2 \\ - 0,1 & 0,4\enar\rp$. Puis on trouve
      \[\begin{array}{ll} &(I-M) \times \lp\begin{array}{cc}4 & 2 \\ 1 & 3\enar\rp\\[1em] =& \lp\begin{array}{cc} 4 \times 0,3 - 0,2 & 2 \times 0,3 - 3 \times 0,2 \\ -0,1 \times 4 + 0,4 & -0,1 \times 2 + 3 \times 0,4 \enar\rp\\[1.2em] =& \lp\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\enar\right) = I\enar\]


    2. On déduit du calcul précédent que $(I-M)$ est bien inversible, avec $(I-M)^{-1}=\lp\begin{array}{cc}4 & 2 \\ 1 & 3\enar\rp$

    3. \[\begin{array}{ll} &U = M \times U + P \\ \iff& U - M \times U = P \\ \iff& (I - M) \times U = P \\ \iff& U = (I-M)^{-1} P \enar\]

      Finalement $U= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 60\\ 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 380\\ 270 \end{pmatrix} $.
  3. Pour tout entier naturel $n$,
    \[\begin{array}{ll} V_{n+1} &= U_{n+1} - U \\[.4em] &= MU_n+P-(MU+P) \\[.em] &= M(U_n-U)\\[.4em] &= MV_n\enar\]


    On en déduit que $(V_n)$ est une suite géométrique avec donc, pour tout entier $n$, $V_n=M^nV_0$
    1. Pour tout entier naturel $n$,
      \[V_n = U_n-U \iff U_n = V_n+U \iff U_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\[1em] \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix} \]


      On en déduit donc $ a_n = \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 $
      Comme $-1<0,5<1$ et $-1<0,8<1$ on a les limites
      \[\lim_{n\to+\infty}0,5^n=\lim_{n\to+\infty}0,8^n=0\]

      et alors
      \[\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380\]

    2. Le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme est donc de 380 000.


Tag:Chaines de Markov

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