Part de marché
Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale
Énoncé
Dans un pays, deux opérateurs de téléphonie mobile AFR et BFM se partagent le marché.
En 2005, AFR en controlait 80% et BFM 20%.
On a ensuite observé, dans les années suivantes, que d'une année sur l'autre:
Pour tout naturel
, on note respectivement
et
les part de marché de AFR et BFM l’année (2005 +
).
Ainsi
et
.
- 60% de la clientèle de AFR lui reste fidèle, tandis que 40% passe chez BFM.
- 70% de la clientèle de BFM lui reste fidèle, tandis que 30% passe chez AFR.
Pour tout naturel






- Traduire avec les données de l'énoncé le système donnant
et
en fonction de
et
.
- On pose
la suite matrices colonnes telle que
.
- Écrire le système d'équation de la première sous forme matricielle
, en précisant la matrice
.
- En déduire
en fonction de
et de
. À l'aide de la calculatrice donner
.
- Écrire le système d'équation de la première sous forme matricielle
-
- En se rappelant que
, déterminer les matrices
et
telles que :
où
est une matrice diagonale et
une matrice colonne.
- Déterminer la matrice colonne
telle que:
- On pose la suite de matrice
telle que:
. Montrer que:
.
- En déduire alors
puis
en fonction de
,
et
.
- Montrer alors que
converge vers
.
- En se rappelant que
Correction
Correction
- On a le système
-
- En posant la matrice
, le système précédent se réécrit matriciellement
.
- La suite
est une suite géométrique, et on a alors explicitement
.
En particulier, on trouve avec l'aide d'une calculatrice,
- En posant la matrice
-
- En utilisant la relation
, le premier système se réécrit
On pose cette les matriceset
, et ce dernier système s'écrit matriciellement
.
-
avecla matrice identité.
On a icidont le déterminant vaut
, ce qui montre que cette matrice est inversible et alors
On trouve alors
soit encore
- On a
or, d'où
- On en déduit que
, avec la matrice
et.
On revient ensuite àpar la relation
- Comme
, on a
et donc on trouve que
et donc que
- En utilisant la relation
Tag:Chaines de Markov
Voir aussi:
Quelques devoirs
sur les graphes et chaînes de Markov. Evolution probabiliste et états stables. Traffic aérien entre 4 villes et équilibre de gaz entre deux réservoirs