Part de marché

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Dans un pays, deux opérateurs de téléphonie mobile AFR et BFM se partagent le marché. En 2005, AFR en controlait 80% et BFM 20%. On a ensuite observé, dans les années suivantes, que d'une année sur l'autre:
  • 60% de la clientèle de AFR lui reste fidèle, tandis que 40% passe chez BFM.
  • 70% de la clientèle de BFM lui reste fidèle, tandis que 30% passe chez AFR.
Ces proportions sont stables; il n'y a pas de fuite de clientèle vers d'autres opérateurs, et il n'y a pas non plus d'abandon de consommation de ces produits.
Pour tout naturel $n$, on note respectivement $a_n$ et $b_n$ les part de marché de AFR et BFM l’année (2005 + $n$). Ainsi $a_0=0,8$ et $b_0=0, 2$.
  1. Traduire avec les données de l'énoncé le système donnant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
  2. On pose $\left( U_n\rp$ la suite matrices colonnes telle que $U_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\enar\rp$.
    1. Écrire le système d'équation de la première sous forme matricielle $U_{n+1} = AU_n$, en précisant la matrice $A$.
    2. En déduire $U_n$ en fonction de $n$ et de $U_0$. À l'aide de la calculatrice donner $U_{15}$.

    1. En se rappelant que $a_n + b_n = 1$, déterminer les matrices $D$ et $E$ telles que : $U_{n+1} = DU_n + E$ où $D$ est une matrice diagonale et $E$ une matrice colonne.
    2. Déterminer la matrice colonne $C$ telle que: $C = DC + E$
    3. On pose la suite de matrice $(X_n)$ telle que: $X_n = U_n - C$. Montrer que: $X_{n+1} = DX_n$.
    4. En déduire alors $X_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$, $a_0$ et $b_0$.
    5. Montrer alors que $(U_n)$ converge vers $C$.




Correction

Correction

  1. On a le système
    \[\la\begin{array}{rcrcr} a_{n+1} &=& 0,6a_n &+& 0,3b_n\\ b_{n+1} &=& 0,4a_n &+& 0,7b_n\\ \enar\right.\]

    1. En posant la matrice $A\lp\begin{array}{cc}0,6 & 0,3\\0,4&0,7\enar\rp$, le système précédent se réécrit matriciellement $U_{n+1}=AU_n$.
    2. La suite $(U_n)$ est une suite géométrique, et on a alors explicitement $U_n=A^nU_0$.

      En particulier, on trouve avec l'aide d'une calculatrice,
      \[U_15=A^{15}U_0=\lp\begin{array}{c}0,4286\\0,5714\enar\rp\]


    1. En utilisant la relation $a_n + b_n = 1$, le premier système se réécrit
      \[\begin{array}{ll}&\la\begin{array}{rcrcr} a_{n+1} &=& 0,6a_n &+& 0,3(1-a_n)\\ b_{n+1} &=& 0,4(1-b_n) &+& 0,7b_n\\ \enar\right.\\[1em] &\iff \la\begin{array}{rcrcr} a_{n+1} &=& 0,3a_n &+& 0,3\\ b_{n+1} &=& 0,3b_n &+& 0,4\\ \enar\right.\enar\]

      On pose cette les matrices $D=\lp\begin{array}{cc}0,3&0\\0,0,3\enar\rp$ et $E=\lp\begin{array}{c}0,3\\0,4\enar\rp$, et ce dernier système s'écrit matriciellement $U_{n+1} = DU_n + E$.

    2. \[\begin{array}{ll} &C = DC + E\\ \iff &C-DC=E\\ \iff &(I_2-D)C=E\enar\]

      avec $I_2$ la matrice identité.
      On a ici $I_2-D=\lp\begin{array}{ll}0,7&0\\0&0,7\enar\rp$ dont le déterminant vaut $\det(I_2-D)=0,49\not=0$, ce qui montre que cette matrice est inversible et alors
      \[(I_2-D)^{-1}=\dfrac1{0,49}\lp\begin{array}{cc}0,7&0\\0&0,7\enar\rp=\dfrac1{0,7}I_2\]

      On trouve alors
      \[C=(I_2-D)^{-1}E=\dfrac1{0,7}I_2\lp\begin{array}{c}0,3\\0,4\enar\rp=\lp\begin{array}{c}\dfrac{0,3}{0,7}\\\dfrac{0,4}{0,7}\enar\rp\]

      soit encore
      \[C=\dfrac17\lp\begin{array}{c}3\\4\enar\rp\]

    3. On a
      \[X_{n+1} = U_{n+1} - C = DU_n+E - C\]

      or $C=DC+E$, d'où
      \[X_{n+1}DU_n+E -(DC+E) = D(U_n-C) = DX_n\]

    4. On en déduit que $X_n=D^nX_0$, avec la matrice
      \[D^n=\lp\begin{array}{cc}0,3^n&0\\0&0,3^n\enar\rp\]

      et $X_0=U_0-C$.

      On revient ensuite à $U_n$ par la relation
      \[X_n=U_n-C \iff U_n=X_n+C=D^nX_0+C\]

    5. Comme $-1<0,3<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,3^n=0$ et donc on trouve que
      \[\lim_{n\to+\infty}D^n=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&0\enar\rp\]

      et donc que
      \[\lim_{n\to+\infty}X_n=C\]




Tag:Chaines de Markov

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