Divisibilité par 13 de sommes et puissances
Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale
Énoncé
Soit
un entier naturel non nul.
Montrer que le nombre
est divisible par 13.


Correction
![\[N \text{ divisible par } 13 \iff N\equiv0\,[13]\]](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/1.png)
On a
et
et donc, en utilisant les opérations sur les congruences,
![\[N=31^{4n+1}+18^{4n-1}\equiv 5^{4n+1}+5^{4n-1}\,[13]\]](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/4.png)
On s'intéresse donc aux puissances de 5, or
,
et donc
.
On écrit alors
![\[\begin{array}{ll}
5^{4n+1}+5^{4n-1}&=\lp5^4\rp^n\tm5+\lp5^4\rp^{n-1}\tm5^3\\[.5em]
&\equiv1^n\tm5+1^{n-1}\tm(-5)\,[13]\\[.5em]
&\equiv5 - 5 \,[13]\\[.5em]
&\equiv0\,[13]
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/7.png)
c'est-à-dire que
et donc que
est divisible par 13.
Correction
On traduit tout d'abord en termes de congruences:![\[N \text{ divisible par } 13 \iff N\equiv0\,[13]\]](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/1.png)
On a
![$31\equiv5[13]$](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/2.png)
![$18\equiv5[13]$](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/3.png)
![\[N=31^{4n+1}+18^{4n-1}\equiv 5^{4n+1}+5^{4n-1}\,[13]\]](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/4.png)
On s'intéresse donc aux puissances de 5, or
![$5^2=25\equiv-1[13]$](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/5.png)
![$5^4\equiv(-1)^2[13]\equiv1[13]$](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/6.png)
On écrit alors
![\[\begin{array}{ll}
5^{4n+1}+5^{4n-1}&=\lp5^4\rp^n\tm5+\lp5^4\rp^{n-1}\tm5^3\\[.5em]
&\equiv1^n\tm5+1^{n-1}\tm(-5)\,[13]\\[.5em]
&\equiv5 - 5 \,[13]\\[.5em]
&\equiv0\,[13]
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/7.png)
c'est-à-dire que
![$N\equiv0\,[13]$](/Generateur-Devoirs/Mex/EuclCong/exd13_c/8.png)

Tag:Division euclidienne - Congruences
Voir aussi:
Quelques devoirs
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sur le plan complexe, les nombres complexes en géométrie, et les congruences en arithmétiques. Ecritures algébriques, trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe. Application au calcul de la puissance d'un nombre complexe. Critère de divisibilité par 19