Divisibilité par 13 de sommes et puissances

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit

un entier naturel non nul. Montrer que le nombre $N=31^{4n+1}+18^{4n-1}$ est divisible par 13.

Correction

On traduit tout d'abord en termes de congruences:

$N \text{ divisible par } 13 \iff N\equiv0\,[13]$

On a $31\equiv5[13]$ et $18\equiv5[13]$ et donc, en utilisant les opérations sur les congruences,

$N=31^{4n+1}+18^{4n-1}\equiv 5^{4n+1}+5^{4n-1}\,[13]$

On s'intéresse donc aux puissances de 5, or $5^2=25\equiv-1[13]$ , et donc $5^4\equiv(-1)^2[13]\equiv1[13]$ .

On écrit alors

$\begin{array}{ll} 5^{4n+1}+5^{4n-1}&=\lp5^4\rp^n\tm5+\lp5^4\rp^{n-1}\tm5^3\\[.5em] &\equiv1^n\tm5+1^{n-1}\tm(-5)\,[13]\\[.5em] &\equiv5 - 5 \,[13]\\[.5em] &\equiv0\,[13] \enar$

c'est-à-dire que $N\equiv0\,[13]$ et donc que

est divisible par 13.

Tag:Division euclidienne - Congruences

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