Congruence et reste de la division euclidienne

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit $a$ un entier relatif tel que $a\equiv68[26]$.
  1. Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par 26 ?
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par 13 ?




Correction

Correction

  1. $a\equiv68[26]$ signifie que $a=26k+68$ pour un certain entier $k$.
    $68>26$ est trop grand pour être le reste de la division euclidienne.
    On écrit alors alors
    \[\begin{array}{ll}a&=26(k+2)+68-26\tm2\\[.4em]&=26(k+2)+16\enar\]

    et cette fois $0\leqslant16<26$ et donc 16 est le reste de la division euclidienne de $a$ par 26.
  2. Pour la division euclidienne par 13, le reste précédent est à nouveau trop grand, et on écrit alors
    \[\begin{array}{ll}a&=26(k+2)+16\\[.4em] &=13\tm2(k+2)+16\\[.4em] &=13\tm\bigl[2(k+1)+1\bigr]+3\enar\]

    ce qui montre que le reste de la division euclidienne de $a$ par 13 est 3.


Tag:Division euclidienne - Congruences

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