Conjecture et récurrence pour le calcul de la puissance d'une matrice

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit la matrice $A=\lp\begin{array}{cc}1&0\\1&1\enar\rp$
Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$ puis conjecturer une formule pour $A^n$ en fonction de l'entier $n$.

Démontrer cette formule.


Correction

Correction

On calcule les premières puissances de la matrice:
\[A^2=\lp\begin{array}{cc}1&0\\1&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&0\\1&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&0\\2&1\enar\rp\]

puis
\[A^3=A^2A=\lp\begin{array}{cc}1&0\\2&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&0\\1&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&0\\3&1\enar\rp\]

et
\[A^4=A^3A=\lp\begin{array}{cc}1&0\\3&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&0\\1&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&0\\4&1\enar\rp\]

et on peut conjecturer que $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&0\\n&1\enar\rp$


On démontre cette formule par récurrence.
Initialisation: La formule est vraie pour les entiers $n$ de 0 à 4, d'après les calculs précédents.

Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n$ on ait $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&0\\n&1\enar\rp$.
Alors, au rang suivant, on a $A^{n+1}=A^nA$, soit donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence
\[A^{n+1}=\lp\begin{array}{cc}1&0\\n&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&0\\1&1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&0\\n+1&1\enar\rp\]

ce qui montre que la formule est encore vraie au rang $n+1$.

Conclusion: On vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&0\\n&1\enar\rp$


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