Préparer l'épreuve de spécialité du bac: intégration

Terminale générale, spécialité mathématiques

Quelques exercices sur les intégrales, primitives, l'intégration et un peu de suite d'intégrales, et leur correction, pour s'entraîner et préparer l'épreuve écrite de spécialité de mathématiques au baccalauréat général. Des calculs d'intégrales, intégration par parties et autres suites s'intégrales au programme...

Exercice 1: Calculs d'intégrales

Calculer les intégrales: $I_1=\dsp\int_0^33x^5\,dx$ ;   $I_2=\dsp\int_{-1}^1 xe^{3x^2}\,dx$ ;   $I_3=\dsp\int_0^1\dfrac{3x}{x^2+1}\,dx$ ;  
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_4=\dsp\int_0^1xe^{-3x}\,dx$

Correction exercice 1


$I_1=\dsp\int_0^33x^5\,dx=\lb\dfrac36x^6\rb_0^3 =\dfrac12\tm3^6-0=\dfrac{729}2$
$I_2=\dsp\int_{-1}^1 xe^{3x^2}\,dx =\left[ \dfrac16e^{3x^2}\rb_{-1}^1 =\dfrac16\left( e^3 - e^3\right) =0$
$I_3=\dsp\int_0^1\dfrac{3x}{x^2+1}\,dx =\lb\dfrac32\ln\left( x^2+1\rp\rb_0^1 =\dfrac32\ln(2)-\dfrac32\ln(1)=\dfrac32\ln(2)$
En intégrant par parties, en posant $u=x$ et $v'=e^{-3x}$, donc $u'=1$ et $v=-\frac13e^{-3x}$,
\[\begin{array}{ll}I_4&=\dsp\int_0^1xe^{-3x}\,dx\\[1em] &=\left[ -\dfrac13xe^{-3x}\rb_0^1-\dsp\int_0^1-\dfrac13e^{-3x}\,dx\\[1em] &=-\dfrac13e^{-3}-\lb\dfrac19e^{-3x}\rb_0^1\\[1em] &=-\dfrac13e^{-3}-\lp\dfrac19e^{-3}-\dfrac19e^0\rp\\[1em] &=-\dfrac49e^{-3}+\dfrac19 \enar\]



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Exercice 2: Calcul d'une aire entre deux courbes de logarithmes

Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal $\left( 0;\vec{i},\vec{j}\rp$, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\left(\ln x\rp^2$.
\[\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-1,-3.2)(4,3.2) \newcommand{\f}[1]{x ln} \newcommand{\g}[1]{x ln 2 exp} \pscustom{ \psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave \psplot{2.718}{1}{\g{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline(-.2,0)(4,0) \psline(0,-3)(0,3) \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{.05}{4}{\f{x}} \psplot{.1}{4}{\g{x}} \end{pspicture*}\]


  1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
    On note $I=\dsp\int_1^e\ln x\,dx$ et $J=\dsp\int_1^e\lp\ln x\rp^2\,dx$.
    1. Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
    2. Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que $J=e-2I$.
    3. Donner la valeur de A.
  2. Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[1;e]$, on note $M$ le point de la courbe C d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe C' de même abscisse.
    Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.

Correction exercice 2


Bac juin 2008
    1. On dérive: $F=uv-u$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln x$ donc $v'(x)=\dfrac1x$,
      et alors, $F'=u'v-uv'-u'$,
      soit $F'(x)=\ln x-x\tm\dfrac1x-1=\ln x=f(x)$
      ce qui montre que $F$ est bien une primtive de $f$.

      On en déduit
      \[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^e\ln x\,dx =\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^e =F(e)-F(1)\\[1em] &=\left( e\ln e-e\rp-\left( 1\ln 1-1\rp =1\enar\]


    2. On pose $u=\ln x$ donc $u'=\dfrac1x$ et $v'=\ln x$ donc $v=x\ln x-x$ et et alors, en intégrant par parties,
      \[\begin{array}{ll}J&=\Bigl[\ln x\left( x\ln x-x\rp\Bigr]_1^e -\dsp\int_1^e\dfrac1x\left( x\ln x-x\rp\\[1em] &=0-\dsp\int_1^e\lp\ln x-1\rp\,dx\\[1em] &=-\dsp\int_1^e\ln x\,dx+\int_1^e1dx\\[1em] &=-I+e-1=e-2I\enar\]

      car $I=1$.
    3. On en déduit la valeur de A:
      \[\begin{array}{ll}A&=\dsp\int_1^e\left( f(x)-g(x)\rp\,dx\\[1em] &=\dsp\int_1^ef(x)\,dx-\int_1^eg(x)\,dx\\[1em] &=I-J =1-\left( e-2I\rp\\ &=1-\left( e-2\rp=3-e\enar\]

  2. Pour $x\in[1;e]$, on a
    \[\begin{array}{ll}MN&=d(x)=f(x)-g(x)\\[.5em]&=\ln x-\lp\ln x\rp^2\enar\]

    Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de connaître ses variations.
    On a
    \[d'(x)=\dfrac1x-2\dfrac1x\ln x=\dfrac1x\lp1-2\ln x\rp\]

    avec $1-2\ln x>0\iff \ln x<1/2\iff x<e^{1/2}=\sqrt{e}$ et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$1$ && $\sqrt{e}$ && $e$\\\hline $1/x$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $1-2\ln x$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline $d'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$d\lp\sqrt{e}\rp$&&\\ $d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]

    La distance est donc maximale en $x=\sqrt{e}$ et cette distance maximale est
    \[d\lp\sqrt{e}\rp=\ln\sqrt{e}-\lp\ln\sqrt{e}\rp^2 =\dfrac12-\lp\dfrac12\rp^2=\dfrac14\]



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Exercice 3: Suite d'intégrales avec exponentielles

Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par la courbe représentative de la fonction définie sur par:


  1. Justifier que passe par le point A de coordonnées .
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction . On précisera les limites de en et en .




Partie B
 

L'objet de cette partie est d'étudier la suite définie sur par:


  1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé , pour tout entier naturel , on note la courbe représentative de la fonction définie sur par


    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d'équation .



    1. Interpréter géométriquement l'intégrale .
    2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,


    En déduire le signe de puis démontrer que la suite est convergente.
  3. Déterminer l'expression de en fonction de et déterminer la limite de la suite .

Correction exercice 3


Partie A
  1. On a et donc .
  2. Comme et sont définies et dérivables sur , est aussi définie et dérivable sur , comme somme et composéee de fonctions définies et dérivables sur , avec, pout tout , .
    De plus, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
    En , et , et donc, par somme des limites, .
    En , , avec et (croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes).
    Ainsi, , et alors, par produit des limites, .




Partie B
    1. est l'aire sous la courbe : l'aire du domaine compris entre les droites verticales d'équation et , et entre l'axe des abscisses et la courbe .
    2. Il semblerait que la courbe soit en dessous de la courbe . On peut donc conjecturer que la suite est décroissante.
      Il semblerait de plus que lorsque devient grand, la courbe se rapproche de la diagonale du carré de côté . On peut ainsi conjecturer que la suite est convergente, de limite .

  2. Pour tout entier ,

    car .
     
    De plus, pour tout , , et , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et donc, .
    On en déduit que pour tout , , et donc que

    Ainsi, la suite est décroissante.
     
    Comme pour tout et pour tout entier , , et donc, , on a .
    Ainsi, est une suite décroissante et minorée par 0: est donc convergente.
  3. Pour tout entier ,


    Comme et , on a donc, , ce qui démontre la conjecture émise au début de cette partie.


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Exercice 4: Encadrement et limite d'une suite d'intégrales

On considère la suite $(I_n) définie pour tout entier naturel $n par l'expression
I_n=\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx

  1. Calculer l'intégrale $\displaystyle J_n=\int_0^1 e^{nx}dx.
  2. Calculer $I_1.
  3. Déterminer le sens de variation de la suite $(I_n).
  4. Montrer que pour tout réel $x\in[0;1], $\dfrac14\leqslant\dfrac{1}{1+e^x}\leqslant\dfrac{1}{2}.
  5. En déduire un encadrement de $I_n puis la limite de la suite $(I_n).

Correction exercice 4


  1. $F(x)=\dfrac1n e^{nx} est une primitive de $f(x)=e^{nx}, et ainsi
    J_n=\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=\dfrac1n e^n-\dfrac1n e^0=\dfrac1n\left( e^n-1\rp

  2. $\displaystyle I_1=\int_0^1 g(x)dx, avec $g(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{x}}. On reconnaît une expression à intégrer de la forme $\dfrac{u'}{u} avec $u(x)=1+e^x.
    Ainsi, $G(x)=\ln\lp1+e^x\rp est une primitive de $g, et on a donc,
    I_1=G(1)-G(0)=\ln\lp1+e\rp-\ln(2)=\ln\lp\dfrac{1+e}{2}\rp


  3. Pour tout entier $n, on a, par linéarité de l'intégrale,
    \begin{array}{ll} I_{n+1}-I_n &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{(n+1)x}}{1+e^x}dx-\int_0^1\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1\lp\dfrac{e^{(n+1)x}}{1+e^x}-\dfrac{e^{nx}}{1+e^x}\right) dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{(n+1)x}-e^{nx}}{1+e^x}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}dx\\[.5cm] \enar

    Or, pour tout $x\in[0;1], $e^{nx}>0, et $e^x\geqslant e^0=1, car la fonction exponentielle est croissante, d'où $e^x-1\geqslant 0, et $e^x+1\geqslant 2>0.
    Ainsi, pour tout $x\in[0;1], $\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}\geqslant0, et donc, par positivité de l'intégrale,
    I_{n+1}-I_n=\dfrac{e^{nx}\left( e^x-1\rp}{1+e^x}dx\geqslant0

    ce qui montre que la suite $(I_n) est croissante.
  4. La fonction exponentielle étant croissante sur $\R, on a
    x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant 1 \iff e^0=1\leqslant e^x\leqslant e^1=e\iff 2\leqslant 1+e^x\leqslant 1+e\leqslant 4

    car $e\simeq 2,7<3.
    Ainsi, en prenant l'inverse (et en inversant donc l'ordre), on a bien, pour tout $x\in[0;1], $\dfrac14\leqslant\dfrac{1}{1+e^x}\leqslant\dfrac{1}{2}.
  5. Comme l'intégrale conserve l'ordre, on déduit de l'encadrement précédent que
    \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{4}dx\leqslant \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{1+x}dx\leqslant \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{2}dx

    soit donc $\dfrac14 J_n \leqslant I_n\leqslant \dfrac12 J_n, et, grçace à la première question:
    \dfrac{1}{4n}\left( e^n-1\rp\leqslant I_n\leqslant \dfrac{12}{2n}\left( e^n-1\rp


    Comme, par croissances comparées, $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{e^n}{n}=+\infty, on a donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{4n}\left( e^n-1\rp=+\infty, et ainsi, d'après le corollaire du théorème des gendarmes, $\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty.


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Quelques autres devoirs




Voir aussi:
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