Oral du bac: suites, récurrence - géométrie dans l'espace
Terminale générale, spécialité mathématiques
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Suite récurrente, démonstration par récurrence et calcul de limite
Soit la suite défnie par
et, pour tout entier ,
.
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- Calculer et .
- Démontrer que, pour tout entier , .
- Déterminer la limite de cette suite.
Correction exercice 1
- et .
- On peut démontrer cette propriété par récurrence.
Initialisation: La propriété est vraie pour car et .
Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang , c'est-à-dire que ,
alors, au rang suivant, on a
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang suivant.
Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier . - On a donc
et donc, comme et , on obtient
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Exercice 2: Intersection dans l'espace d'une droite et d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points , , et , ainsi que
la droite passant par le point et de vecteur directeur .
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- Démontrer que les points et ne sont pas alignés.
- Démontrer que la droite est orthogonale au plan . et en déduire une équation cartésienne du plan .
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
- Déterminer les coordonnées du point , intersection de la droite et du plan
Correction exercice 2
- et .
Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, et donc ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
On en déduit que les points et ne sont pas alignés (et définissent alors un plan). - et .
Le vecteur est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : c'est donc un vecteur normal au plan .
La droite est par conséquent orthogonale au plan .
Une équation cartésienne du plan est donc de la forme .
Le point appartient au plan , et donc .
Ainsi une équation cartésienne du plan est .
- La droite passe par le point et a pour vecteur directeur .
Une représentation paramétrique de la droite est donc: .
- Les coordonnées du point sont solution du système:
Donc .
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Voir aussi: