Oral du bac: suites, récurrence - géométrie dans l'espace
suites, géométrie dans l'espace
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Suite récurrente, démonstration par récurrence et calcul de limite
Soit
la suite défnie par
et, pour tout entier
,
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOralrec/1.png)
![$u_0=2$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOralrec/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOralrec/3.png)
![$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOralrec/4.png)
- Calculer
et
.
- Démontrer que, pour tout entier
,
.
- Déterminer la limite de cette suite.
Correction exercice 1
Cacher la correction
-
et
.
- On peut démontrer cette propriété par récurrence.
Initialisation: La propriété est vraie pourcar
et
.
Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang, c'est-à-dire que
,
alors, au rang suivant, on a
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rangsuivant.
Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriétéest donc vraie pour tout entier
.
- On a donc
et donc, commeet
, on obtient
Cacher la correction
Exercice 2: Intersection dans l'espace d'une droite et d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points
,
,
et
, ainsi que
la droite
passant par le point
et de vecteur directeur
.
![$A(0;4;1)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/1.png)
![$B(1;3;0)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/2.png)
![$C(2;-1;-2)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/3.png)
![$D(7;-1;4)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/4.png)
![$\Delta$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/5.png)
![$D$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/6.png)
![$\vec{u}(2;-1;3)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOralInter/7.png)
- Démontrer que les points
et
ne sont pas alignés.
- Démontrer que la droite
est orthogonale au plan
. et en déduire une équation cartésienne du plan
.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite
.
- Déterminer les coordonnées du point
, intersection de la droite
et du plan
Correction exercice 2
Cacher la correction
-
et
. Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, et donc ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
On en déduit que les pointset
ne sont pas alignés (et définissent alors un plan).
-
et
.
Le vecteurest donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan
: c'est donc un vecteur normal au plan
.
La droiteest par conséquent orthogonale au plan
.
Une équation cartésienne du planest donc de la forme
.
Le pointappartient au plan
, et donc
.
Ainsi une équation cartésienne du planest
.
- La droite
passe par le point
et a pour vecteur directeur
.
Une représentation paramétrique de la droiteest donc:
.
- Les coordonnées du point
sont solution du système:
Donc.
Cacher la correction
Voir aussi: