Oral du bac: convexité, exponentielle - Géométrie dans l'espace
Terminale générale, spécialité mathématiques
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Etude d'une fonction avec exponentielle, dérivée seconde, tangente et convexité
Soit la fonction définie sur par
l'expression .
Soit la fonction définie sur par l'expression .
Cacher la correction
- Déterminer l'expression des dérivées première et seconde, et , de .
- Étudier les variations de .
- Donner l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .
- Étudier la convexité de . La courbe de possède-t-elle des points d'inflexion ?
Correction exercice 1
Soit la fonction définie sur par l'expression .
-
- Le sens de variation de est donné par le signe de sa dérivée .
Ici, on a
et donc
- En , on a vu que , ce qui signifie que la tangente en ce point est horizontale, et a donc pour équation .
Remarque: on peut bien sûr aussi utiliser la formule générale de l'quation de la tangente au point d'abscisse , à savoir .
- Comme pour tout réel , on a 0$">, on en déduit que est convexe sur . En particulier, n'admet aucun point d'inflexion.
Cacher la correction
Exercice 2: Géométrie dans l'espace
Dans l'espace muni du repère orthonormal
on considère le plan d'équation
ainsi que le point .
Cacher la correction
- Le point est-il dans le plan ?
- Donner une représentation paramétrique de la droite passant par et orthogonale à .
- Déterminer les coordonnées du point intersection de et .
- En déduire la distance du point au plan .
Correction exercice 2
- donc .
- est un vecteur normal de , la droite passant par et orthogonale à admet donc comme représentatation paramétrique:
- Comme , il existe un réel tel que ait pour
coordonnées
Comme de plus , ses coordonnées vérifient l'équation de
donc ,
soit et donc .
On a ainsi . - La distance du point au plan est . Comme , on a donc .
Cacher la correction
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