Oral du bac: suite, fonction exponentielle

exponentielle, suites récurrentes

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Suite récurrente et démonstration par récurrence

On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par: $u_1=-5$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\lp1+\dfrac2n\right) u_n+\dfrac{18}{n}-4\,.\]

  1. Calculer $u_2$ et $u_3$. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de la suite $\left( u_n\rp$.
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=4n-9$.

Correction exercice 1
  1. $u_2=\left( 1+\dfrac21\right) u_1+\dfrac{18}{1}-4 =3\tm(-5)+14=-1$; $u_3=\left( 1+\dfrac22\right) u_2+\dfrac{18}{2}-4 =2\tm(-1)+5=3$
    On peut conjecturer que la suite $\left( u_n\rp$ est arithmétique de raison $4$.
  2. Initialisation: On a $u_1=-5$, et pour $n=0$, $4\tm1-9=-5$.
    Ainsi, initialement au rang $n=1$, on a bien $u_n=4n-9$.

    Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n\geqslant1$, on ait $u_n=4n-9$, alors,

    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=\lp1+\dfrac2n\right) u_n+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em] &=\lp1+\dfrac2n\right) \lp 4n-9\right)+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em] &=4n-9+\dfrac{8n}{n}-\dfrac{18}{n}+\dfrac{18}{n}-4\\[.5em] &=4n-5\\[.5em] &=4(n+1)-9 \enar\]

    Ainsi au rang $n+1$ on a bien encore $u_{n+1}=4(n+1)-9$.

    Conclusion: On a donc démontré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n\geqslant1$, $u_n=4n-9$.



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Exercice 2: Etude d'une fonction avec exponentielle, convexité

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=e^x-x-1$.
  1. Etudier les variations de la fonction $g$.
  2. Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
  3. En déduire que pour tout $x$ de $[0;+\infty[$, $e^x>x$.
  4. Étudier la convexité de la fonction $g$.

Correction exercice 2
On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=e^x-x-1$.
  1. $g$ est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine et est donc dérivable sur $\R$, donc sur $[0;+\infty[$, avec, $g'(x)=e^x-1$.
    De plus, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, lorsque $x\in[0;1]$, on a $e^x\geqslant e^0=1$, et donc $g'(x)=e^x-1\geqslant0$.
    On a $g'(x)>0\iff e^x>1\iff x>0$, car Ainsi, on a le tableau de variation:
    \[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $0$ &\hspace*{1cm}& &$+\infty$ \\\hline $g'(x)$ &$0$& $+$ &&\\\hline &&&&\\ $g$&&\psline[arrowsize=6pt]{->}(-.6,-.2)(1,.4)&&\\ &$0$&&&\\\hline \end{tabular}\]

  2. Comme $g$ est strictement croissante sur $\R_+$ et que $g(0)=0$, on en déduit que pour tout $x\geqslant 0$, $g(x)\geqslant g(0)=0$.
  3. On a donc pour tout $x\geqslant 0$, $g(x)=e^x-x-1\geqslant 0$, et ainsi, $e^x-x\geqslant 1>0$ d'où aussi $e^x>x$.
  4. On a $g0$"> et donc $g$ est convexe sur $\R$.



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Voir aussi:
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