Suite récurrente, un peu tout

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale


On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
\[f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}\]

On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par $u_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$.
  1. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$. (Les limites aux bornes ne sont pas demandées)
  2. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 4$.
    2. En déduire que la suite $\left( u_n\rp$ est convergente.
    3. On appelle $L$ la limite de la suite $\left( u_n\rp$. Déterminer la valeur de $L$.

    1. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $p$ tel que $|1-u_p|<E$.

      \[\fbox{\begin{minipage}{6cm} \texttt{def Seuil(E):}\\ \hspace*{1em}\texttt{u=4}\\ \hspace*{1em}\texttt{n=0}\\ \hspace*{1em}\texttt{while \ \dots}\\ \hspace*{2em}\texttt{u= \ \dots }\\ \hspace*{2em}\texttt{n=n+1}\\ \hspace*{1em}\texttt{return n} \end{minipage}}\]

    2. Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-1}$.

  5. On considère la suite $\left( v_n\rp$ définie, pour tout entier naturel $n$, par:
    \[v_n=\dfrac1{u_n-1}\]

    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp$ est arithmétique dont vous donnerez le premier terme et la raison.
    2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    3. Calculer la limite de la suite $\left( v_n\rp$.
    4. Puis retrouver par le calcul la limite de la suite $\left( u_n\rp$.

Correction


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