Suite récurrente, un peu tout

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale


On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
\[f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}\]

On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par $u_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$.
  1. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$. (Les limites aux bornes ne sont pas demandées)
  2. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 4$.
    2. En déduire que la suite $\left( u_n\rp$ est convergente.
    3. On appelle $L$ la limite de la suite $\left( u_n\rp$. Déterminer la valeur de $L$.

    1. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $p$ tel que $|1-u_p|<E$.

      \[\fbox{\begin{minipage}{6cm} \texttt{def Seuil(E):}\\ \hspace*{1em}\texttt{u=4}\\ \hspace*{1em}\texttt{n=0}\\ \hspace*{1em}\texttt{while \ \dots}\\ \hspace*{2em}\texttt{u= \ \dots }\\ \hspace*{2em}\texttt{n=n+1}\\ \hspace*{1em}\texttt{return n} \end{minipage}}\]

    2. Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-1}$.

  5. On considère la suite $\left( v_n\rp$ définie, pour tout entier naturel $n$, par:
    \[v_n=\dfrac1{u_n-1}\]

    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp$ est arithmétique dont vous donnerez le premier terme et la raison.
    2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    3. Calculer la limite de la suite $\left( v_n\rp$.
    4. Puis retrouver par le calcul la limite de la suite $\left( u_n\rp$.

Correction
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par: $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}$ et la suite $\left( u_n\rp$ définie par $u_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$.
  1. On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x-1$ donc $u'(x)=3$ et $v(x)=x+1$ donc $v'(x)=1$, d'où $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit
    \[f'(x)=\dfrac{3(x+1)-(3x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{4}{(x+1)^2}\]

    Pour tout $x\geq0$, on a $(x+1)^2>0$, et donc aussi $f'(x)>0$, ce qui montre que $f$ est strictement croissante sur $\R_+$.
  2. $\begin{array}[t]{ll}u_1&=f(u_0)=f(4)=\dfrac{3\tm4-1}{4+1}=\dfrac{11}5=2,2\\ u_2&=f(u_1)=\dfrac{3\tm\frac{11}5-1}{\frac{11}5+1}=\dfrac{28}{16}=\dfrac74=1,75 \enar$
    1. On note, pour $n\in\N$, $P_n: 1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 4$.
      Initialisation: pour $n=0$, on a bien $1\leq 1,75 \leq 2,2 \leq 4$ et $P_0$ est donc vraie.

      Hérédité: Supposons que, pour un certain entier $n$, $P_n$ soit vraie, c'est-à-dire que $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 4$.
      Comme $f$ est croissante sur $\R_+$, donc sur $[1;+\infty[$, $f$ conserve l'ordre et on a donc alors
      \[f(1)\leq f\left( u_{n+1}\right) \leq f\left( u_n\right) \leq f(4)\]

      or, $f(1)=1$, $f\left( u_{n+1}\rp=u_{n+1}$, $f\left( u_n\rp=u_{n+1}$ et enfin $f(4)=\frac{11}5$, d'où, ces dernières inégalités se réécrivent
      \[1\leq u_{n+2}\leq u_{n+1} \leq \dfrac{11}5\leq 4\]

      et qui montre que $P_{n+1}$ est donc encore vraie.

      Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $P_n$ est vraie, c'est-à-dire que $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 4$
    2. Le résultat précédent montre que la suite $(u_n)$ est décroissante car $u_{n+1}\leq u_n$, et de plus que cette suite est minorée par 1.
      On en déduit donc qu'elle converge vers une limite $L\geq1$.
    3. Comme on sait que cette suite récurrente converge vers $L$, cette limite vérifie nécessairement la relation $L=f(L)$ (théorème du point fixe, car $f$ est continue $[1;+\infty[$), soit, avec $L\geq1$, donc $L+1\not=1$,
      \[\begin{array}{ll}&f(L)=\dfrac{3L-1}{L+1}=L\\ \iff& 3L-1=L(L+1)\\ \iff& L^2-2L+1=0\\ \iff& (L-1)^2=0\enar\]

      Ainsi, on trouve la limite $L=1$.


    1. \[\fbox{\begin{minipage}[t]{6cm} \texttt{def Seuil(E):}\\ \hspace*{1em}\texttt{u=4}\\ \hspace*{1em}\texttt{n=0}\\ \hspace*{1em}\texttt{while abs(1-u)>=E}\\ \hspace*{2em}\texttt{u= (3*u-1)/(u+1) }\\ \hspace*{2em}\texttt{n=n+1}\\ \hspace*{1em}\texttt{return n} \end{minipage}}\]

    2. La valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-1}$ est 20.

  5. On considère la suite $\left( v_n\rp$ définie, pour tout entier naturel $n$, par:
    \[v_n=\dfrac1{u_n-1}\]

    1. On a
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}-v_n&=\dfrac1{v_{n+1}-1}-\dfrac1{u_n-1}\\ &=\dfrac1{f(u_n)-1}-\dfrac1{u_n-1}\\ &=\dfrac1{\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}-1}-\dfrac1{u_n-1}\\ &=\dfrac{u_n+1}{2u_n-2}-\dfrac1{u_n-1}\\ &=\dfrac{u_n+1}{2(u_n-1)}-\dfrac1{u_n-1}\\ &=\dfrac{u_n-1}{2(u_n-1)}=\dfrac12 \enar\]

      Ainsi, $\left( v_n\rp$ est arithmétique de raison $r=\dfrac12$ et de premier terme $v_0=\dfrac1{u_0-1}=\dfrac13$
    2. On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0+nr=\dfrac13+\dfrac{n}2$.
    3. On trouve donc que $\dsp\lim_{n\to+\infty}\left( v_n\rp=+\infty$.
    4. On a
      \[v_n=\dfrac1{u_n-1}\iff u_n=\dfrac1{v_n}+1\]

      et, en utilisant le résultat précédent, $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{v_n}=0$, d'où on retrouve que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.


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