Suite récurrente et suite intermédiaire géométrique avec logarithme

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n\geqslant0$, $u_{n+1}=2\sqrt{u_n}$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Donner les résultats sous la forme $2^\alpha$.
  2. On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\ln(4)-\ln(u_n)$.
    Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$.
  3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Correction


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