Suite récurrente et suite intermédiaire géométrique avec logarithme

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n\geqslant0$, $u_{n+1}=2\sqrt{u_n}$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Donner les résultats sous la forme $2^\alpha$.
  2. On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\ln(4)-\ln(u_n)$.
    Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$.
  3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Correction
  1. $u_1=2\sqrt{u_0}=2\sqrt1=2$
    $u_2=2\sqrt{u_1}=2\sqrt{2}=2\tm2^{1/2}=2^{3/2}$
    $u_3=2\sqrt{u_2}=2\tm\lp2^{3/2}\rp^{1/2}=2\tm2^{3/4}=2^{7/4}$
  2. Pour tout entier $n\geqslant0$, on a
    \[\begin{array}{ll} v_{n+1}&=\ln(4)-\ln\left( u_{n+1}\rp\\[.8em] &=\ln(4)-\ln\lp2\sqrt{u_n}\rp\\[.8em] &=\ln(4)-\lp\ln(2)+\ln(\sqrt{u_n})\rp\\[.8em] &=\ln(4)-\ln(2)-\dfrac12\ln(u_n)\\[.8em] &=\ln(4)-\dfrac12\ln(4)-\dfrac12\ln(u_n)\\[.8em] &=\dfrac12\lp\ln(u_n)-\ln(4)\right) =\dfrac12v_n \enar\]

    ce qui montre que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.
  3. Comme $v_0=\ln(4)-\ln(u_0)=\ln(4)-\ln(1)=\ln(4)$, on en déduit que $v_n=v_0\lp\dfrac12\rp^n=\ln(4)\dfrac1{2^n}$.
    Ensuite, comme
    \[v_n=\ln(u_n)-\ln(4)=\ln\lp\dfrac{u_n}4\right) \iff \dfrac{u_n}4=e^{v_n} \iff u_n=4e^{v_n}\]

  4. Comme $0<\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=0$ et alors, comme $v_n=\ln(4)-\ln(u_n)$, on en déduit que
    \[\dsp\lim_{n\to+\infty}\ln(4)-\ln(u_n)=0 \iff \lim_{n\to+\infty}\ln(u_n)=\ln(4) \iff \lim_{n\to+\infty}u_n=4\]




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