Suite récurrente et exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie par: $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=e^{2u_n}-e^{u_n}$.
On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire: $u_{n+1} = e^{u_n}\left( e ^{u_n}-1\rp$.
On pourra poser éventuellement $f(x)=e^{2x}-e^x$.
  1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=e^{2x}-e^x-x$.
    1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    2. Calculer $g'(x)$ et prouver que, pour tout réel $x$, $g'(x)=\left( e^x-1\right) \left( 2e^{x}+1\right)$.
    3. Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.

    1. En remarquant que $u_{n+1}-u_n=g(u_n)$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $u_n\leqslant0$.
    3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $l$ qui vérifie $g(l)=0$. En déduire la limite $l$.

Correction
$(u_n)$ est définie par $u_0=-1$ et, pour $n\in\N$, $u_n+1=e^{2u_n}-e^{u_n}=f(u_n)$, avec $f(x)=e^{2x}-e^x$.
On a aussi $u_{n+1} = e^{u_n}\left( e ^{u_n}-1\rp$.
  1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=e^{2x}-e^x-x$.
    1. En $-\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{2x}=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$ d'où $\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$.

      En $+\infty$,
      \[g(x)=e^{2x}\lp1-\dfrac{e^x}{e^{2x}}-\dfrac{x}{e^{2x}}\right) =e^{2x}\lp1-\dfrac1{e^x}-\dfrac{x}{e^{2x}}\right) \]

      avec $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{2x}=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{e^x}=0$.
      Enfin, $\dfrac{x}{e^{2x}}=\dfrac1{\dfrac{e^{2x}}{x}} =\dfrac1{\dfrac{e^X}{X}}$ en posant $X=2x$, et, comme par croissances comparées, $\dsp\lim_{X\to+\infty}\dfrac{e^X}X=+\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{2x}}=0$ et donc $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp1-\dfrac1{e^x}-\dfrac{x}{e^{2x}}\rp=1$.
      On trouve donc finalement, par produit des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.
    2. On a $g(x)=e^{u(x)}-e^x-x$ avec $u(x)=2x$, et donc $g'(x)=u'(x)e^{u(x)}-e^x-1=2e^{2x}-e^x-1$.
      Par ailleurs, en développant l'expression $\left( e^x-1\right) \left( 2e^{x}+1\right)=2e^{2x}+e^x-2e^x-1=2e^{2x}-e^x-1$
      on obtient bien que, pour tout réel $x$, $g'(x)=\left( e^x-1\right) \left( 2e^{x}+1\right)$.
    3. Comme pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $2e^x>0$ et on a donc $2e^x+1>1>0$.
      Par ailleurs, $e^x-1>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
      On peut alors dresser le tableau de signes:
      \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && 0 && $+\infty$ \\\hline $e^x-1$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline $2e^x+1$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline &$+\infty$&&&&$+\infty$\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}\]

      On calcule aussi le minimum: $g(0)=e^0-e^0-0=0$.

    1. On vient de trouver à la question précédente, que $g(x)\geqslant0$ pour tout $x$ réel.
      Ainsi, $u_{n+1}-u_n=g(u_n)\geqslant0$, ce qui montre que la suite $(u_n)$ est croissante.
    2. Soit la proposition $P(n): u_n\leqslant0$.

      Initialisation: Pour $n=0$, on a $u_0=-1\leqslant0$ et donc $P(0)$ est vraie.

      Hérédité: Supposons que, pour un entier $n$, $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n\leqslant0$.
      On a, au rang suivant, $u_{n+1}=e^{u_n}\left( e^{u_n}-1\rp$,
      avec $e^{u_n}>0$, et comme $u_n\leqslant0$ donc, en appliquant la fonction exponentielle qui est croissante, on obtient $e^{u_n}\leqslant e^0=1\iff e^{u_n}-1\leqslant0$.
      Ainsi, $u_{n+1}\leqslant0$ et la propriété $P(n+1)$ est donc aussi vraie.

      Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que les propriétés $P(n): u_n\leqslant 0$ sont vraies pour tout entier $n$.
    3. On a donc montré que la suite $(u_n)$ est croissante, à la question 2. b), et qu'elle est majorée par 0 à la question précédente; on en déduit donc qu'elle est convergente vers une limite $l$.
      D'après le théorème du point fixe, on sait de plus que cette limite vérifie
      \[f(l)=l\iff e^{2l}-e^l=l\iff e^{2l}-e^l-l=0\iff g(l)=0\]


      On a vu que $g$ a pour minimum 0, et donc $g(l)=0$ a pour unique solution $l=0$, et on en déduit donc que
      \[\lim_{n\to+\infty}u_n=0\]



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