Bac 2012 (Centres étrangers) - Résolution d'une équation avec exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

(Bac S, Centres étrangers 2012, 6 points)

On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$.


Partie A : Conjecture graphique


Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
\[ \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{EXP(x)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)} \end{pspicture*} \]


À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.


Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique


    1. Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2+x^3$.
    2. En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
    3. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
  2. On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]-1~;~0[\cup]0~;~+\infty[$ par :
    \[h(x)=\ln 3+\ln\left(x^2\right)+\ln(1+x)-x.\]

    Montrer que, sur $]-1~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$, l'équation (E) équivaut à $h(x) = 0$.
    1. Etudier les limites de $h$ en $-1$, $0$ et $+\infty$.
    2. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a: $h'(x)=\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}$
    3. Déterminer les variations de la fonction $h$.
    4. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x)=0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
    5. Conclure quant à la conjecture de la partie A.

Correction


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