Suite récurrente et exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie par: $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=e^{2u_n}-e^{u_n}$.
On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire: $u_{n+1} = e^{u_n}\left( e ^{u_n}-1\rp$.
On pourra poser éventuellement $f(x)=e^{2x}-e^x$.
  1. Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=e^{2x}-e^x-x$.
    1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    2. Calculer $g'(x)$ et prouver que, pour tout réel $x$, $g'(x)=\left( e^x-1\right) \left( 2e^{x}+1\right)$.
    3. Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum.

    1. En remarquant que $u_{n+1}-u_n=g(u_n)$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
    2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $u_n\leqslant0$.
    3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $l$ qui vérifie $g(l)=0$. En déduire la limite $l$.

Correction


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