Oral de Bac - Calcul d'intégrale, linéarité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On cherche à calculer l'intégrale $$\displaystyle I=\int_0^1 \dfrac{x^3}{1+x^2}dx$ .

Correction

$$\displaystyle J=\int_0^1 f(x)dx$ , avec $$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ . On reconnaît "presque" une expression de la forme $$\dfrac{u'}{u}$ avec , et donc , d'où $$\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x}{1+x^2}=2f(x)$ .
Ainsi, $$F(x)=\dfrac12\ln\left( u(x)\rp=\dfrac12\ln\left(1+x^2\rp$ est une primitive de , et on a

$J=F(1)-F(0)=\dfrac12\ln(2)-\dfrac12\ln(1)=\dfrac12\ln(2)$
Par linéraité de l'intégrale, on a

$\begin{array}{ll} I+J&\dsp=\int_0^1 \dfrac{x^3}{1+x^2}dx+\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1 \lp\dfrac{x^3}{1+x^2}+\dfrac{x}{1+x^2}\right) dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1 \dfrac{x^3+x^2}{1+x^2}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1 \dfrac{x\left( x^2+1\rp}{1+x^2}dx\\[.5cm] &\dsp=\int_0^1 x\,dx \enar$

or $$H:x\mapsto \dfrac12 x^2$ est une primitive de $$h:x\mapsto x$ , et donc,

$I+J=\int_0^1 x\,dx=\int_0^1 h(x)\,dx=H(1)-H(0)=\dfrac12$
D'après ce qui précède, on a donc, $$I+J=\dfrac12 \iff I=\dfrac12-J=\dfrac12-\dfrac12\ln(2)=\dfrac12\left( 1-\ln(2)\rp$ .

Tag:Intégrales

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