Convexité

Variations de la pente de la courbe d'une fonction


Exercices d'introduction

Exercice 1: Pente sur un toboggan
La pente à une courbe en un point est la pente en ce point de sa tangente, ou encore le coefficient directeur de cette tangente.
La courbe décrivant un toboggan est la courbe représentative de la fonction f dont l'expression est
f (x) = −x22 + 1 si x≤1 x22 −2x + 2 si x>1


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  1. Justifier que f est continue sur [0 ; 2]

    ((Re)voir la continuité des fonctions) Sur [0;1[ la fonction f est un polynôme du second degré, donc en particulier continu, et de même sur ]1;2].
    Il reste à étudier le raccord en x = 1.
    On a, d'un côté
        lim x1 x<1 f(x) = −12/2+1 =1/2
    et de l'autre
        lim x1 x>1 f(x) = 12/2−2×1+2 =1/2
    ce qui montre bien que
      limx1 f(x) = 1/2 = f(1)
    et donc que f est aussi bien continue en 1.
    En résumé, f est donc bien continue sur [0;2]
  2. Donner une expression de la fonction dérivée f ' de f.
    Montrer que f ' est aussi continue sur [0 ; 2]. Interpréter graphiquement cette propriété

    f ' (x) = −x si x≤1 x −2 si x>1
    De même que dans la question précédente, f ' étant une fonction affine sur [0;1] y est continue, de mê que sur ]1;2].
    De plus, les limites en x = 1 pour x<1 et x>1 sont égales, et égales à f '(1) = −1, ce qui montre que cete fonction dérivée est aussi continue en 1.
  3. Donner la pente à la courbe en 0 et en 2.

    L'énoncé rappelle que "la pente à une courbe en un point est la pente en ce point de sa tangente, ou encore le coefficient directeur de cette tangente".
    Maintenant, le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est le nombre dérivé f '(a).
    On a calculé à la question précédente l'expression de cette dérivée, et on a donc
    • en 0, la pente est f '(0)=0.
    • en 2, la pente est f '(2)=0.
    En ces deux points, la pente est nulle, la tangente est horizontale.
  4. Donner la pente de la courbe au point d'abscisse x. Comment varie cette pente ? Dresser son tableau de variation.

    La pente est donc donnée par la dérivée, qui a été calculée à la question 2:
    f ' (x) = −x si x≤1 x −2 si x>1
    Sur [0;1], f '(x) = −x est une fonction affine décroissante, puis sur [1;2], f '(x) = x − 2 est une fonction affine croissante.
    La pente est ainsi décroissante sur [0;1] puis croissante sur [1;2]
  5. Une norme impose que la pente d'un tel toboggan ne dépasse pas 1,5 en valeur absolue. Est-ce le cas ici ?

    La pente diminue donc de 0 à −1 puis augmente de −1 à 0.
    La plus grande valeur, en valeur absolue, est donc de 1 pour cette pente, ce qui montre que la norme est ici respectée.


Exercice 2: Une courbe au-dessus de ses tangentes
On considère la fonction carré f (x) = x2 et on note Cf sa courbe représentative.
  1. Donner l'équation de la tangente T1 à Cf au point d'abscisse 1.

    Au point d'abscisse a, la tangente a pour équation réduite
    y = f '(a) (x −a) + f (a)
    avec ici a = 1 et f(a) = f(1) = 1,
    et, comme f '(x) = 2x donc f '(a) = f '(1) = 2.
    Finalement, cette tangente T1 est la droite d'équation
    y = 2(x −1) + 1 = 2x −1
  2. Étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite T1.

    La position relative de deux courbes est donnée par le signe de la différence de leurs expressions algébrique ((Re)voir Position relative de deux courbes).
    Ici, cette différence est
    d(x) = f (x) −y = x2 − ( 2x −1 ) = x2 −2x +1
    Il reste donc à déterminer le signe de cette expression: soit on revient au signe d'un trinôme du second degré, ou plus directement ici, il s'agit d'une identité remarquable:
    d(x) = (x − 1)2
    et donc en particulier, pour tout réel x on a
    d(x) ≥ 0
    ce qui signifie que la courbe Cf est toujours au-dessus de la droite T1.
  3. Reprendre la question précédente dans le cas général: pour un réel a quelconque, étudier la position relative de la courbe Cf et de la droite Ta.

    Au point d'abscisse a quelconque, la tangente Ta a pour équation réduite
    y = f '(a) (x −a) + f (a) = 2a (x − a) + a2 = 2ax − a2
    Comme dans la question précédente, la position relative est donnée par le signe de la différence
    d(x) = f (x) −y = x2 − (2ax − a2) = x2 −2ax + a2
    De même aussi que dans la question précédente, on peut soit étudier le signe de ce trinôme du second degré, ou plus directement ici, remarquer l' identité remarquable:
    d(x) = (x − a)2
    et donc en particulier, pour tout réel x on a
    d(x) ≥ 0
    ce qui signifie que la courbe Cf est toujours au-dessus de la droite Ta, et ce pour toutes les droite Ta, indépendamment de a.


Fonction convexe

Définition:
On dit qu'une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative est située au-dessus de (toutes) ses tangentes.

Propriété:
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes:
  1. f est convexe sur I
  2. La courbe représentative est entièrement située au-dessus de ses tangentes
  3. f ' est croissante sur I
  4. f '' est positive sur I


Exercice:
Soit f la fonction exponentielle: f(x) = ex
  1. Donner la convexité de f.

    La fonction exponentielle est deux fois dérivable sur R avec f '(x) = ex puis f ''(x) = ex et donc, comme pour tout réel x on a ex >0, on en déduit d'après la propriété précédente que la fonction exponentielle est convexe sur R.
  2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.

    Au point d'abscisse a, la tangente a pour équation réduite
    y = f '(a) (x − a) + f (a)
    avec ici a = 0 et f(a) = f(0) = e0 = 1,
    et aussi f '(a) = f '(0) = 1,
    et donc cette tangente a pour équation réduite
    y = 1(x − 0) + 1 = x + 1
  3. En déduire que, pour tout réel x, ex > x

    D'après la première question, on sait que la fonction est convexe: elle donc au-dessus de ses tangentes.
    En particulier, pour la tangente en 0, on a donc que, pour tout réel x
    ex ≥ x + 1 > x


Fonction concave

Définition:
On dit qu'une fonction f est concave lorsque −f est convexe, ce qui est donc équivalent à dire que la courbe représentative de f est toujours au-dessous de ses tangentes, ou encore que f ''<0.
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Définition:
Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente.
En un tel point, la fonction change de convexité : de convexe à concave, ou le contraire.

Propriété:
Une fonction f deux fois dérivable admet un point d'inflexion au point d'abscisse a si, et seulement si, f '' s'annule en a en changeant de signe.



Exercices corrigés


Exercice 19
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3+3x2+0,5x+1 .
  1. Étudier la convexité de f sur R.

    La fonction f est un polynôme, et est donc en particulier dérivable, et même deux fois dérivable sur R.
    Sa convexité est alors donnée par le signe de sa dérivée seconde, ici
    f '(x) = 3x2 + 6x + 0,5
    puis
    f ''(x) = 6x + 6
    On a alors f ''(x) = 6x + 6 ≥0 ⇔ x≥−1, et donc f est convexe sur [−1;+∞[ et f est concave sur ]−∞;−1].
  2. Déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe de f.

    D'après le calcul précédent, f admet un unique point d'inflexion en x = −1, où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.


Exercice 20: convexité et point d'inflexion (bis)
Même exercice que le précédent avec la fonction g(x) = xex

La fonction g est deux fois dérivable sur R.
Sa convexité est alors donnée par le signe de sa dérivée seconde, ici, en dérivant le produit g = uv on obtient
g'(x) = (1+x)ex
puis en dérivant ce nouveau produit
g''(x) = (2+x)ex
On a alors, comme ex>0,
g''(x) = (2+x)ex >0 ⇔ 2+x>0 ⇔ x>−2
et donc g est convexe sur [−2;+∞[ et g est concave sur ]−∞;−2].

puis avec la fonction h(x) = e−x2

La fonction h est deux fois dérivable sur R.
Sa convexité est alors donnée par le signe de sa dérivée seconde, ici, en dérivant la composée h = eu on obtient
h'(x) = −2xe−x2
puis en dérivant ce produit
h''(x) = (−2 + 4x2)e−x2
On a alors, comme e−x2>0,
h''(x) = (−2+4x2)e−x2 >0 ⇔ (−2+4x2)>0 ⇔ x2>1/2

On résout cette inéquation du second degré et on obtient que f est convexe sur ]−∞; 2−1/2 ] et sur [1/2;+∞[ et concave sur le reste.


Exercice 21: QCM
Indiquer les bonnes réponses (une ou plusieurs par question).
  1. La fonction dérivée de la fonction h définie sur R par h(x) = (2x2+4x+6)e5x+7 est h'(x) =




    On dérive un produit h = uv, donc h' = u'v + uv', avec u = ew donc u' = w'ew.
    (Re)voir le calcul de dérivée et le calcul de dérivée avec des exponentielles.

  2. La fonction k définie sur R par k(x)=x2+1 est:




    Pour le sens de variation, on dérive la racine carrée: u' = u'/2u,
    donc ici, avec u = x2+1 donc u' = 2x,
    on obtient
    k'(x) = 2x/2x2+1
    qui est du même signe que x car u>0, ce qui montre que la fonction k est décroissante sur ]−∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
    Pour connaître la convexité, on dérive une nouvelle fois, cette fois le quotient uv et on trouve cette fois, tous calculs faits:
    k''(x) = 1/x2+1 (x2+1)
    qui est donc strictement positive, et qui montre donc que la fonction k est convexe sur R.
    (Re)voir le calcul de dérivée

  3. La fonction l définie sur R par l(x) = (x2−5x+4)2 admet




    On dérive deux fois la fonction, et on cherche le nombre de valeurs où cette dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
    Ici, l = u2 donc l' = 2u'u soit
    l'(x) = 2(2x−5)(x2−5x+4)2
    soit aussi, en développant (puisqu'on va devoir redériver),
    l'(x) = 2(2x3−15x2+33x−20)
    On dérive donc à nouveau:
    l''(x) = 2(6x2−30x+33)
    C'est un trinôme du second degré de discriminant Δ>0 qui admet donc deux racines et change deux fois de signe: la fonction k admet donc deux points d'inflexion.
    (Re)voir le calcul de dérivée

  4. La fonction m définie sur R par m(x) = ex2−2x+3 :




    On a m = eu donc m' = u'eu, soit aussi m' = u'm et donc ici m'(x)=(2x−2)m(x) qu'il ne reste plus qu'à factoriser.
    Pour la convexité, on dérive une vouvelle fois, un produit cette fois, et on obtient
    m''(x) = 2(1+2(x−1)2) ex2−2x+3
    En particulier, l'exponentielle est toujours strictement positive, de même que le carré: (x−1)2≥0 et donc
    1+2(x−1)2≥1>0
    d'où on déduit le signe du produit
    m''(x)>0
    et donc que la fonction m est convexe sur R.



Exercice 22: QCM
On considère la fonction g définie sur [1; 5] dont la courbe représentative est tracée ci-contre
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À chaque question, une ou plusieurs réponses sont correctes:
  1. Que vaut g'(3) ?




    Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente, droite tracée ici en rouge. Attention encore aux unités en lisant ce coefficient directeur. Voir encore la formule du calcul du coefficient directeur d'une droite
  2. g'(x) = 0 pour:




    Si la dérivée est nulle, alors la tangente au point correspondant est horizontale.
    Aussi, lorsqu'une fonction admet un extremum (minimum ou maximum), sa dérivée est nécessairement nulle.
  3. La fonction g semble convexe sur l'intervalle:




    En x = 3 on a un point d'inflexion, car la courbe traverse sa tangente, et elle y change donc de convexité.
    Elle y passe de concave à convexe.
  4. g'' étant la dérivée de g', on a:




    La dérivée seconde s'annule aux points d'inflexion, donc ici en x = 3, et on a donc g''(3)=3
  5. g'≥0 sur:




    g'≥0 sur I signifie que g est croissante sur I…


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