Sept équations, fractions, quotients, carré...

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Résoudre les équations:

$(E_1):\ (2x-3)(x+6)-(x+6)=0$
$(E_2):\ (x^2-5)(3x+7)=0$
$(E_3):\ (2x+3)(4x-1)=(2x+3)^2$
$(E_4):\ \dfrac{x^2-36}{2x-12}=0$
$(E_5):\ \dfrac{4}{2x+5}-\dfrac{1}{x-3}=0$
$(E_6):\ (2x-1)^2=49$
$(E_7):\ x\sqrt3+5=5x+8$

Correction

On factorise le terme commun:

$\begin{array}{ll}(E_1):\ &(2x-3)(x+6)-(x+6)=0\\ \iff &(x+6)\Big[(2x-3)-1\Big]=0\\ \iff &(x+6)\left[ 2x-4\rb=0\enar$

et on a maintenant une équation produit nul:

$(E_1)\iff\la\begin{array}{lll} &x+6=0 \\ \mbox{ou, } &2x-4=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x=-6 \\ \mbox{ou, } x=2\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_1=\left\{ -6\,;\,2\right\}$
est une équation produit nul:

$(E_2)\iff \la\begin{array}{rl}x^2-5=0 \\ \mbox{ou, } 3x+7=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x^2=5 \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-\sqrt{5}\ \mbox{ou, } x=\sqrt{5} \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right.$

d'où les solutions $\mathcal{S}_2=\left\{ -\dfrac{7}{3}\,;\,-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\right\}$
$(E_3):\ (2x+3)(4x-1)=(2x+3)^2\iff (2x+3)(4x-1)-(2x+3)^2=0$
puis on factorise par le terme commun:

$\begin{array}{ll}(E_3)&\iff (2x+3)\Bigl[(4x-1)-(2x+3)\Bigr]=0\\ &\iff (2x+3)(2x-4)=0\enar$

On a maintenant une équation produit nul: $(E_3)\iff\la\begin{array}{rl}2x+3=0\\\mbox{ou, }2x-4=0\enar\right.$ et on trouve donc deux solutions $\mathcal{S}_3= \left\{-\dfrac32 ; 2 \right\}$
est une équation quotient nul:

$(E_4) \iff \la\begin{array}{rl} x^2-36=0 \\ \mbox{et, }2x-12\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl} x^2=36 \\ \mbox{et, }x\not=6\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-6\ \mbox{ou,}\ x=6 \\ \mbox{et, } x\not=6\enar\right.$

d'où la solution $\mathcal{S}_4=\left\{ -6\right\}$
On met tout d'abord les deux fractions sur le même dénominateur:

$\dfrac{4}{2x+5}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2x-17}{(2x+5)(x-3)}$

et on a alors une équation quotient nul:

$(E_5)\iff \iff \la\begin{array}{rl}2x-17=0 \\ \mbox{et, }(2x+5)(x-3)\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=\dfrac{17}{2} \\ \mbox{et, }&x\not=-\dfrac{5}{2}\ \mbox{et, } x\not=3\enar\right.$

d'où la solution $\mathcal{S}_5=\left\{ \dfrac{17}{2}\right\}$
$(E_6):\ (2x-1)^2=49 \iff \la\begin{array}{rl}2x-1=-7 \\ \mbox{ou, }2x-1=7\enar\right. \iff \la\begin{array}{rl}x=-3 \\ \mbox{ou, }x=4\enar\right.$ d'où $\mathcal{S}_6=\left\{ -3\,;\,4 \right\}$
$(E_7):\ x\sqrt3+5=5x+8\iff x\sqrt3-5x=8-5\iff x(\sqrt4-5)=3$
d'où la solution $\mathcal{S}_7=\left\{ \dfrac{3}{\sqrt3-5}\right\}$ .

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