Trois petites équations, fractions et quotients...

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Résoudre les équations:

: $$\dfrac{x}{2x+1}=1$

: $$\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{x-3}$

: $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=1$

: $$\dfrac{6x(x+1)}{x-4}=30\dfrac{120}{x-4}$

Correction

: $$\dfrac{x}{2x+1}=1 \iff \dfrac{x}{2x+1}-1=0 \iff \dfrac{x}{2x+1}-\dfrac{2x+1}{2x+1}=0 \iff \dfrac{-x-1}{2x+1}=0$

C'est une équation quotient, et donc, $$\la\begin{array}{ll} &-x-1=0 \vspd\\ \mbox{et,}\ &2x+1\not=0 \enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=-1 \vspd\\ \mbox{et,}\ &x\not=-\frac{1}{2} \enar\right.$ , d'où $$\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -1\ra$ .

: $$\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{x-3} \iff \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}=0 \iff \dfrac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)}-\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0 \iff \dfrac{-x}{(x-2)(x-3)}=0$ .

C'est une équation quotient, et donc, $$\la\begin{array}{ll} &-x=0 \vspd\\ \mbox{et,}\ &(x-2)(x-3)\not=0 \enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=0 \vspd\\ \mbox{et,}\ &x\not=2 \mbox{ et } x\not=3 \enar\right.$ , d'où, $$\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} 0 \ra$ .

: $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=1 \iff \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}-1=0 \iff \dfrac{2}{2x}+\dfrac{x}{2x}-\dfrac{2x}{2x}=0 \iff \dfrac{2-x}{2x}=0$ .

C'est une équation quotient et donc, $$\la\begin{array}{ll} &2-x=0\vspd\\ \mbox{et,}\ &2x\not=0 \enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} &x=2\vspd\\ \mbox{et,}\ &x\not=0 \enar\right.$ , d'où, $$\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} 2\ra$ .

: $$\dfrac{6x(x+1)}{x-4}=30+\dfrac{120}{x-4} \iff\dfrac{6x(x+1)}{x-4}-\dfrac{30(x-4)}{x-4}-\dfrac{120}{x-4}=0 \iff\dfrac{6x^2+6x-30x+120-120}{x-4}=0 \iff\dfrac{6x^2-24x}{x-4}=0$
On peut, et doit, factoriser le numérateur: $$(E_4) \iff \dfrac{6x(x-4)}{x-4}=0$
C'est une équation quotient, et donc, $$\la\begin{array}{ll}6x(x-4)=0 \\\text{et, }x-4\not=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll}6x=0 \text{ ou, } x-4=0\\\text{et,}x-4\not=0\enar\right.$
Finalement, cette équation a une seule solution: $$\mathcal{S}=\la0\ra$ .