Trace de matrices symétriques


Pour quelles matrices $A$ de $M_{n,m}(\R)$ a-t-on : $Tr(A^T\, A) = 0$ ?

Correction
Oral ENSAE - Saclay

Pour quelles matrices $A$ de $M_{n,m}(\R)$ a-t-on : $Tr(A^T\, A) = 0$ ?


Si $A=\left( a_{i,j}\rp$, alors $A^T=\left( a_{j,i}\rp$ et $B=A^T\,A$ a les coefficients
\[b_{i,j}=\sum_{k=1}^m a_{i,k}a_{j,k}\]

et donc
\[Tr(A^T\, A)=Tr(B)=\sum_{i=1}^m b_{i,i}
=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k}a_{i,k}
=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k}^2\]

Cette somme de carré est nulle si et seulement si tous les termes sont nuls, et donc, il n'y a qu'une seule matrice correspondante: la matrice nulle.

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Tag:Matrices

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