Trace de matrices symétriques
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Pour quelles matrices
de
a-t-on :
?
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace/1.png)
![$M_{n,m}(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace/2.png)
![$Tr(A^T\, A) = 0$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace/3.png)
Correction
Pour quelles matrices
de
a-t-on :
?
Si
, alors
et
a les coefficients
![\[b_{i,j}=\sum_{k=1}^m a_{i,k}a_{j,k}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/7.png)
et donc
![\[Tr(A^T\, A)=Tr(B)=\sum_{i=1}^m b_{i,i}
=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k}a_{i,k}
=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k}^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/8.png)
Cette somme de carré est nulle si et seulement si tous les termes sont nuls, et donc, il n'y a qu'une seule matrice correspondante: la matrice nulle.
Correction
Oral ENSAE - SaclayPour quelles matrices
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/1.png)
![$M_{n,m}(\R)$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/2.png)
![$Tr(A^T\, A) = 0$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/3.png)
Si
![$A=\left( a_{i,j}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/4.png)
![$A^T=\left( a_{j,i}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/5.png)
![$B=A^T\,A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/6.png)
![\[b_{i,j}=\sum_{k=1}^m a_{i,k}a_{j,k}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/7.png)
et donc
![\[Tr(A^T\, A)=Tr(B)=\sum_{i=1}^m b_{i,i}
=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k}a_{i,k}
=\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^m a_{i,k}^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/trace_c/8.png)
Cette somme de carré est nulle si et seulement si tous les termes sont nuls, et donc, il n'y a qu'une seule matrice correspondante: la matrice nulle.
Tag:Matrices
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)