Suite récurrente avec une densité de probabilité


Oral ESCP, BL - 2021
Soit $f$ l'application définie sur $\R$ par:
\[\forall t\in\R,\, f(t)=\dfrac{2e^t}{\sqrt{1+t^2}}\]


  1. Faire une étude rapide de la fonction $f$: domaine de définition, variations, limites aux bornes du domaine de définition, asymptotes éventuelles.
  2. On considère la suite réelle $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = f (u_n)$.
    On admet que, pour tout $t\geqslant0$, on a : $f(t)>t$.
    Étudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.
  3. On considère l'application $G$ définie sur $\R$ par
    \[\forall x\in\R,\, G(x)=\int_{-x}^xf(t)dt\]

    Étudier les variations de $G$.
    Étudier la limite éventuelle de la suite $(G(u_n))$.

Correction
Oral ESCP, BL - 2021
  1. Comme $1+t^2\geqslant1>0$ pour tout réel $t$, la fonction $f$ est définie et dérivable sur $\R$, et même de classe $\mathcal{C}^\infty$.
    On calcule
    \[\begin{array}{ll}f'(t)&=2\dfrac{e^t\sqrt{1+t^2}-e^t\dfrac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}}{1+t^2}\\
  &=2e^t\dfrac{t^2-t+1}{(1+t^2)^{3/2}}
  \enar\]

    Le trinôme du numérateur a un discriminant $\Delta=-3<0$ donc n'admet pas de racine et il est ainsi toutjours strictement positif.
    On en déduit que $f'(t)>0$ et donc $f$ strictement croissante sur $\R$.
    Par croissances comparées, on trouve les limites
    \[\lim_{t\to-\infty}f(t)=0\]

    et la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est donc asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$, tandis que
    \[\lim_{t\to+\infty}f(t)=+\infty\]


  2. Comme $f(t)>t$, on a donc $u_{n+1}=f(u_n)>u_n$ et la suite est donc croissante.
    On a donc l'aternative: soit la suite est majorée et elle aussi convergente, soit elle diverge vers $+\infty$.
    Or, si elle converge, c'est vers un point fixe de $f$, c'est-à-dire vers une limite $l$ telle que $f(l)=l$. Or, on admet ici que c'est impossible pour $f$ pour laquelle $f(t)>t$.
    On en déduit que, nécessairement, $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
  3. $f$ est continue sur $\R$ et admet donc une primitive $F$ sur $\R$.
    On a alors
    \[G(x)=F(x)-F(-x)\]

    et donc
    \[\begin{array}{ll}G'(x)&=F'(x)+F'(-x)\\
  &=f(x)+f(-x)\\
  &=2\dfrac{e^x+e^{-x}}{\sqrt{1+x^2}}>0
  \enar\]

    d'où $G$ est strictement croissante sur $\R$.

    On se rappelle que $u_n\to+\infty$, et on cherche donc la limite de $G(x)$ lorsque $x\to+\infty$.
    On a vu aussi que pour la fonction à intégrer, $f(t)\to+\infty$ lorsque $t\to+\infty$ et ainsi
    \[\int_0^{+\infty}f(t)dt\]

    diverge grossièrement.
    Par contre
    \[\int_{-\infty}^0f(t)dt\]

    converge puisque $t^2f(t)\to0$ en $-\infty$, par croissances comparées.
    Finalement la somme
    \[\int_{-\infty}^0f(t)dt+\int_0^{+\infty}f(t)dt\]

    diverge vers $+\infty$, comme $G(u_n)$ lorsque $n\to+\infty$.


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