Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
On considère les vecteurs
,
,
,
et
dans
.






-
et
sont-ils supplémentaires dans
?
-
et
sont-ils supplémentaires dans
?
-
et
sont-ils supplémentaires dans
?
Correction
Correction
- En considérant les dimensions:
et
et donc ces deux sous-espaces ne peuvent pas être supplémentaires dans
car
.
- Les dimensions peuvent ici concorder.
On pose
et
Pour montrer la somme directe, il faut montrer que
et
.
Soit donc, alors il existe
et
tels que
d'une part et
et
tels que
, soit aussi
Ainsi,et la somme de
et
est directe. Il reste à démontrer que la somme est bien
(et non pas un sous-espace stricte de
). On a
. Soit
, on cherche quatre coefficients
,
,
et
tels que
, soit
ce qui est équivalent au système:
Ainsi, pour tout vecteuril existe une combinaison linéaire de
, ce qui montre que
, et donc, avec le résultat précédent sur l'intersection,
.
- Ces sous-espaces ne peuvent pas être supplémentaires
car il y a trop de vecteurs.
D'après la question précédente, on a bien
mais l'intersection n'est pas réduite à
.
Tag:Espace vectoriel
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