Somme matrice plus nilpotente


Soit une matrice $N\in M_n(\R)$ pour laquelle il existe $k\in\N$ tel que $N^k=0$.
  1. Donner un exemple d'une telle matrice.
  2. Trouver les valeurs propres de $N$.
  3. La matrice $N$ est-elle diagonalisable ?
  4. Soit $A\in M_n(\R)$ une autre matrice.
    1. On suppose que $A$ commute avec $N$. Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $A+N$ est inversible.
    2. Montrer que ce n'est plus vrai si $A$ et $N$ ne commutent pas. (on pourra chercher un contre-exemple avec $n=2$).
  5. On suppose ici que $N^{n-1}\not=0$ et $N^n=0$. On prend $X_0\in\R^n$ tel que $N^{n-1}X_0\not=0$. Montrer que $\left( X_0, NX_0, \dots , N^{n-1}X_0\rp$ forme une base de $\R^n$. Écrire $N$ dans cette base.

Correction
Oral ENS ULM - 2021

  1. La matrice nulle convient. On peut aussi prendre par exemple la matrice
    \[N=\lp\begin{array}{cccc}
  0&0&\dots&1\\
  0&0&\dots&0\\
  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
  0&0&\dots&0  
  \enar\rp\]

    pour laquelle $N^2=0$.
  2. Soit $\lambda\in Sp(N)$, alors il existe $X\not=0$ tel que $NX=\lambda X$, et donc, en multipliant plusieurs fois par $N$, on doit avoir $N^kX=\lambda^k X=0$.
    Ainsi, comme $X\not=0$, il vient $\lambda^k =0$ donc $\lambda=0$.
    En d'autres termes, on vient de trouver que $Sp(N)\subset \{0\}$.

    Réciproquement, 0 est une valeur propre de $N$, car $N$ n'est pas inversible (sinon $N^k=0$ le serait aussi, ce qui n'est pas le cas), et donc $0\in Sp(N)$.

    On a donc trouvé que $N$ a une unique valeur propre $\lambda=0$, ou encore que $Sp(N)= \{0\}$.
  3. Si $N$ était diagonalisable, elle serait semblable à $D$ diagonale avec uniquement $\lambda=0$ sur la diagonale donc $D=0$, et alors $N=PDP^{-1}=0$. La seule matrice nilpotente et diagonalisable est la matrice nulle.
      • Supposons $A$ inversible.
        Soit $X\in Ker(A+N)$. On a alors $(A+N)X=0\iff NX=-AX$, et donc, en appliquant $N$ et en commutant:
        \[N^2X=-NAX=-ANX=-A(-AX)=A^2X\]

        Ensuite, en itérant, il vient
        \[N^kX=(-1)^kA^kX=0\]

        Or $A$ est inversible donc $A^k$ aussi donc $X=0$.
        On a ainsi montré que $Ker(A+N)=\{0\}$, ou encore, en d'autres termes, que $A+N$ est injective, donc bijective ou encore inversible.
      • Réciproquement, supposons que $A'=A+N$ inversible.
        On a alors $A=A'+(-N)$ et, comme $A'$ commute avec $-N$ et que $(-N)^k=0$, on applique l'implication précédente à $A'$ et $-N$ et on obtient que $A$ inversible.

    1. Pour matrice nilpotente, comme proposé à la première question, on peut choisir $N=\lp\begin{array}{cc} 0&1\\0&0\enar\rp$.
      On prend ensuite prendre par exemple $A=\lp\begin{array}{cc} 1&0\\1&1\enar\rp$.
  4. On peut commencer par montrer que cette famille est libre: soit $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que
    \[\sum_{i=0}^{n-1} a_iN^iX_0=0\]

    En appliquant $N^{n-1}$, tous les termes de la somme s'annulent sauf le premier, à savoir
    \[a_0N^{n-1}X_0=0\]

    et, comme $N^{n-1}X_0\not=0$, on obtient donc $a_0=0$, et la somme se réécrit
    \[\sum_{i=1}^{n-1} a_iN^iX_0=0\]

    On applique maintenant $N^{n-2}$, et il reste cette fois
    \[a_1N^{n-1}X_0=0\]

    d'où $a_1=0$.
    En répétant ce raisonnement, on trouve ainsi, successivement, $a_0=\ldots=a_{n-1}=0$. En d'autres termes, la famille $(X_0,NX_0,\ldots,N^{n-1}X_0)$ est libre.
    Comme de plus elle est composée de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n=\dim\lp\R^n\rp$, on en déduit qu'elle est une base.

    Enfin, dans cette base, $N$ envoie chaque vecteur sur le suivant sauf le dernier dont l'image est nulle. La matrice de $N$ est donc
    \[\lp\begin{array}{ccccc}
  0&0& \dots &0&0\\
  1&0& \dots &0&0\\
  0&1&\dots &0&0\\
  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
  0&0&\dots&1&0\enar\rp\]



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