Séries harmonique et avec coefficients binomiaux


oral HEC, BL - 2022
Soit $p$ un entier naturel fixé. Pour tout entier naturel $n\in\N^*$, on pose $u_n=\dfrac1{\binom{n+p}{n}}$
    1. Question de cours: rappeler les résultats de cours sur la convergence des séries de Riemann.
    2. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $T_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1k$. Montrer que
      \[\lim_{nto+\infty}T_n=+\infty\]

      et
      \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{T_n}{\ln(n)}=1\]


  1. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$.
  2. On suppose dans toute la suite que $p$ est supérieur ou égal à 2 et on pose $S_n=\dsp\sum_{k=1}^nu_k$.
    1. Montrer que, pour tout entier $n$,
      \[(n+p+2)u_{n+2}=(n+2)u_{n+1}\]

    2. En vous servant d'une somme télescopique, en déduire une formule pour $S_n$ en fonction de $n$, $p$ et $u_n$.
  3. Déterminer, dans les cas de convergence, la somme de la série de terme général $u_n$ en fonction de $p$.

Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation
    1. Critère de convergence de Riemann: la série de terme général $\dfrac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$
    2. On utilise une comparaison série/intégrale avec la fonction inverse $x\mapsto\dfrac1x$ qui est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$, et donc, pour tout entier $k$, et pour tout $t\in[k;k+1]$ on a
      \[\dfrac1{k+1}\leqslant\dfrac1t\leqslant\dfrac1k\]

      d'où, en intégrant terme à terme
      \[\int_k^{k+1}\dfrac{dt}{k+1}\leqslant\int_k^{k+1}\dfrac{dt}t\leqslant\int_k^{k+1}\dfrac{dt}k\]

      soit aussi en calculant ces intégrales
      \[\dfrac1{k+1}\leqslant\ln(k+1)-\ln(k)\leqslant\dfrac1k\]

      On somme ensuite terme à terme ces inégalités, de $k=1$ jusqu'à $k=n$, pour faire apparaître la somme $T_n$
      \[T_n-1\leqslant\sum_{k=1}^n\ln(k+1)-\ln(k)\leqslant T_n\]

      et, la somme centrale étant télescopique, on trouve finalement
      \[T_n-1\leqslant \ln(n)\leqslant T_n\]

      ou encore, en retournant ces inégalités
      \[\ln(n)\leqslant T_n\leqslant \ln(n)+1\]

      D'après le théorème des gendarmes on en déduit la limite recherchée:
      \[\lim_{n\to+\infty}T_n=+\infty\]

      et, en divisant ces inégalités par $\ln(n)>0$, on obtient
      \[1\leqslant\dfrac{T_n}{\ln(n)}\leqslant1+\dfrac1{\ln(n)}\]

      d'où la deuxième limite recherchée
      \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{T_n}{\ln(n)}=1\]

      ce qui signifie au passage exactement que, en $+\infty$,
      \[T_n\sim\ln(n)\]


  1. On a
    \[\dsp\binom{n+p}{n}=\dfrac{(n+p)!}{n!\,p!}=\dfrac{(n+p)(n+p-1)\dots(n+1)}{p!}\]

    et donc ($p$ est un paramètre fixe),
    \[u_n\leqslant\dfrac{p!}{n^p}\]

    et ainsi, si $n\leqslant1$ la série de terme général $u_n$ diverge, tandis qu'elle converge pour $p\geqslant2$ par comparaison avec une série de Riemann.

    1. \[\begin{array}{ll}(n+p+2)u_{n+2}&=\dfrac{n+p+2}{\binom{n+2+p}{n+2}}\\
  &=\dfrac{(n+2)!p!(n+p+2)}{(n+p+2)!}\\
  &=(n+2)\dfrac{(n+1)!p!}{(n+p+1)!}\\
  &=(n+2)u_{n+1}
  \enar\]


    2. On a donc, en prenant le rang $n-2$ dans la relation précédente
      \[(n+p)u_n=nu_{n-1}\]

      ou encore
      \[pu_n=nu_{n-1}-nu_n\]

      Pour que ce soit le terme général d'une suite télescopique, on écrit alors plutôt en retranchant $u_n$ de part et d'autre
      \[(p-1)u_n=nu_{n-1}-(n+1)u_n\]

      On a alors,
      \[\sum_{k=2}^n(p-1)u_k=\dsp\sum_{k=2}^nku_{k-1}-(k+1)u_k\]

      soit
      \[\begin{array}{ll}
  (p-1)\dsp\sum_{k=2}^nu_k&=\dsp\sum_{k=2}^nku_{k-1}-\sum_{k=2}^n(k+1)u_k\\
  &=\dsp\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)u_k-\sum_{k=2}^n(k+1)u_k\\
  \enar\]

      ou encore
      \[(p-1)\left( S_n-u_1\right) = 2u_1-(n+1)u_n\]

      or $u_1=\dfrac1{p+1}$ et donc
      \[S_n=-\dfrac{n+1}{p-1}u_n+\dfrac2{(p+1)(p-1)}+\dfrac1{p+1}\]

      ou encore finalement
      \[S_n=-\dfrac{n+1}{p-1}u_n+\dfrac1{p+1}\]

  2. On a vu que, pour $p\geqslant2$, la série converge avec
    \[u_n\leqslant\dfrac{p!}{n^p}\]

    et donc,
    \[\begin{array}{ll}\dfrac{n+1}{p-1}u_n&\leqslant\dfrac{p!(n+1)}{(p-1)n^p}\\
  &\leqslant\dfrac{p!}{p-1}\tm\dfrac{n}{n^p}\\
  &=\dfrac{p!}{p-1}\tm\dfrac1{n^{p-1}}
  \enar\]

    qui tend vers 0 pour $p\geqslant2$.
    La somme $S_n$ de terme général $u_n$ tend donc vers $\dfrac1{p-1}$.


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