Série entière presque géométrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
.
![$\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2/1.png)
Correction
est le terme général de la série, et
on a
lorsque
.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
.
Soit donc, pour
,
.
et,
.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
.
On peut intégrer directement en
,
ou en décomposant en éléments simples:
.
On trouve alors en intégrant
,
d'où finalement
,
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:
donc
.
Avec le résultat trouvé, comme en 0,
,
donc
on a bien
en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée
.
Correction
Si![$u_n=\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/1.png)
![$\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|^2\dfrac{2n+1}{2n+3}\to|x|^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/2.png)
![$n\to+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/3.png)
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/4.png)
Soit donc, pour
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/5.png)
![$f(x)\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n}}{2n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/6.png)
et,
![$g(x)=xf(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/7.png)
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
![$g'(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}x^{2n}
=\dsp\sum_{n\geqslant0}\left( x^2\rp^n
=\dfrac1{1-x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/8.png)
On peut intégrer directement en
![$\text{argtanh}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/9.png)
![$\dfrac1{1-x^2}=\dfrac1{(1-x)(1+x)}=\dfrac{1/2}{1-x}+\dfrac{1/2}{1+x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/10.png)
On trouve alors en intégrant
![$g(x)=-\dfrac12\ln(1-x)+\dfrac12\ln(1+x)
=\dfrac12\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/11.png)
![$f(x)=\dfrac1{2x}\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/12.png)
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série:
![$f(x)=1+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^4}{5}+\dots$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/13.png)
![$f(0)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/14.png)
Avec le résultat trouvé, comme en 0,
![$\ln(1+x)\sim x$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/15.png)
![$f(x)=\dfrac1{2x}\lp\ln(1+x)-\ln(1-x)\rp\sim1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/16.png)
![$f(x)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG2_c/17.png)
Tag:Séries entières
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