Série entière presque géométrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
.
Correction
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que .
Soit donc, pour , .
et, .
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, .
On peut intégrer directement en , ou en décomposant en éléments simples: .
On trouve alors en intégrant , d'où finalement ,
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: donc .
Avec le résultat trouvé, comme en 0, , donc on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée .
Correction
Si est le terme général de la série, et on a lorsque .Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que .
Soit donc, pour , .
et, .
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence, .
On peut intégrer directement en , ou en décomposant en éléments simples: .
On trouve alors en intégrant , d'où finalement ,
Remarque: on peut vérifier (question supplémentaire ?) pour la seule valeur facilement calculable de la série: donc .
Avec le résultat trouvé, comme en 0, , donc on a bien en prolongeant par continuité en 0 l'expression trouvée .
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