Série alternée: récurrence et convergence

Pour tout entier

, on pose $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k k$ .

Correction

On peut démontrer ce résultat par récurrence. Pour , $S_0=\dsp\sum_{k=0}^n(-1)^kk=(-1)^0\tm0=0$ et $\dfrac{(-1)^0(2\tm0+1)-1}{4}=0$ aussi, ce qui montre que la propriété est vraie initialement.
Supposons maintenant que cette propriété soit vraie à un certain rang , soit $S_n=\dfrac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$ .
Au rang suivant, on a alors, $S_{n+1}=\dsp\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^kk=S_n+(-1)^{n+1}(n+1)$ , soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence,

$\begin{array}{ll} S_{n+1}&\dsp=\dfrac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}+(-1)^{n+1}(n+1)\\[1em] &\dsp=\dfrac{(-1)^{n+1}\left( -2n-1+4(n+1)\rp-1}{4}\\[1em] &\dsp=\dfrac{(-1)^{n+1}\left( 2n+3\rp-1}{4}\\[1em] &\dsp=\dfrac{(-1)^{n+1}\left( 2(n+1)+1\rp-1}{4} \enar$

ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang suivant.
D'après le principe de récurrence, on peut donc en conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel .
D'après le résultat précédent, on a donc que $S_{2n}=\dfrac{n}{2}$ diverge vers $+\infty$ , et $S_{2n+1}=\dfrac{-n-1}{2}$ diverge vers $-\infty$ .
Ainsi la suite $\left( S_n\rp$ est divergente.

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