Réciproque d'une fonction de répartition


Oral ESCP, BL - 2021
Soit $f$ la fonction définie sur R par, pour tout réel $x$,
\[f(x)=\dfrac2{\left( e^x+e^{-x}\rp^2}\]


  1. Montrer que $f$ peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire $X$.
    1. Montrer que $X$ possède une espérance et donner sa valeur.
    2. Montrer que $X$ possède une variance (on ne demande pas sa valeur).
    3. On note $F$ la fonction de répartition de $X$. Montrer, sans calculer $F(x)$, que $F$ est une bijection de $\R$ dans un intervalle $I$ que l’on précisera.
  2. On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=F(X)$.
    1. Déterminer la loi de $Y$.
    2. Calculer l'expression de $F(x)$ pour tout réel $x$.
    3. Déterminer $F^{-1}$, bijection réciproque de $F$.

Correction
Oral ESCP, BL - 2021
  1. $f$ est clairement positive et continue sur $\R$. De plus, pour $A>0$,
    \[\begin{array}{ll}\dsp\int_{-A}^A f(x)dx
  &=\dsp\int_{-A}^A\dfrac2{\left( e^x+e^{-x}\rp^2}dx\\
  &=\dsp\int_{-A}^A\dfrac{2e^{2x}}{e^{2x}\left( e^x+e^{-x}\rp^2}dx\\
  &=\dsp\int_{-A}^A\dfrac{2e^{2x}}{\left( e^{2x}+1\rp^2}dx\\
  &=\lb\dfrac{-1}{e^{2x}+1}\rb_{-A}^A\\
  &=-\dfrac1{e^{2A}+1}+\dfrac1{e^{-2A}+1}
  \enar\]

    et on trouve donc, à la limite où $A\to+\infty$,
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1\]

    ce qui finit de montrer que $f$ peut bien être considérée comme une densité de probabilité.
  2. On a $t^2(tf(t))\to0$ lorsque $t\to+\infty$, par croissances comparées, ce qui montre, par comparaison avec une intégrale de Riemann, que $t\mapsto tf(t)$ est intégrable en l'infini, et donc que $E(X)$ existe.
    De plus, comme $f$ est paire, on en déduit que $t\mapsto tf(t)$ est impaire, et alors que $E(X)=0$.
  3. De même que précédemment, $t^2\left( t^2f(t)\rp\to0$ lorsque $t\to+\infty$ et donc $X$ admet aussi un moment d'ordre 2 (et des moments de tout ordre, de la même façon), et en particulier, $V(X)$ existe.
  4. On sait que $F$ est une fonction continue, strictement croissante sur $\R$ avec
    \[\lim_{x\to-\infty}F(x)=0\]

    et
    \[\lim_{x\to+\infty}F(x)=1\]

    et ainsi, $F$ est une bijection de $\R$ dans $]0;1[$.
    (et ceci est vrai pour tout fonction de répartition).
    1. On a $Y(\Omega)=]0;1[$. On s'intéresse à la fonction de répartition de $Y$, pour $x\in]0;1[$,
      \[F_Y(x)=P(Y\leqslant x)
  =P(F(X)\leqslant x)\]

      Comme, d'après la question précédente, $F$ est bijective, on peut utiliser sa réciproque $F^{-1}$, et alors
      \[F_Y(x)=P(X\leqslant F^{-1}(x))\]

      et donc, en revenant à la fonction de répartition de $X$,
      \[F_Y(x)=F\left( F^{-1}(x)\rp=x\]

      On en déduit que la desnité de $Y$ est constante sur $]0;1[$: il s'agit de la loi uniforme.
    2. On a déjà vu le calcul à la première question:
      \[\begin{array}{ll}F(x)&=\dsp\int_{-\infty}^xf(t)dt\\
      &=\lb\dfrac{-1}{e^{2x}+1}\rb_{-\infty}^x\\
      &=1-\dfrac1{e^{2x}+1}
      \enar\]


    3. Pour déterminer l'expression de la fonction réciproque, on cherche à inverser la relation $F(x)=y$
      \[\begin{array}{rl}F(x)&=1-\dfrac1{e^{2x}+1}=y\\
      \iff&\dfrac1{e^{2x}+1}=1-y\\
      \iff&e{2x}+1=\dfrac1{1-y}\\
      \iff&e{2x}=\dfrac1{1-y}-1=\dfrac{y}{1-y}\\
      \iff&2x=\ln\lp\dfrac{y}{1-y}\rp\\
      \iff&x=F^{-1}(y)=\dfrac12\ln\lp\dfrac{y}{1-y}\right)
      \enar\]



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Tag:Variables aléatoires continues

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