Recherche de fonctions avec une propriété intégrale


Déterminer l'ensemble des fonction $f:\R\to\R$ dérivables vérifiant
\[\forall (x,y) \in \R^2, \int_{x}^y f(t) dt = \dfrac{y-x}{2} (f(x)+f(y))\]


Correction
Oral ENS ULM - 2019

On appelle $(E)$ la relation de l'énoncé:
$$ \forall (x,y) \in \R^2, \int_{x}^y f(t) dt = \dfrac{y-x}{2} (f(x)+f(y)) $$


Interprétation graphique de $(E)$ dans le cas où $f$ est positive et $x <y$: l'intégrale est "l'aire sous la courbe", tandis que le membre de droite est l'aire du trapèze hachuré en rouge:

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(5,4)
%D\'efinition de la fonction:
\nwc{\f}[1]{
  #1 1.6 mul 180 mul 3.14 div sin
  #1 div #1 add 1 add 0.8 mul}
%D\'efinition du domaine hachur\'e:
\pscustom{
  \psplot{-1.}{3}{\f{x}} \gsave
  \psline(3,0)(-1,0)
  %\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  \fill[fillstyle=vlines,hatchsep=10pt,hatchwidth=1.pt,hatchcolor=blue]
  \grestore
}
%On retrace la courbe par dessus:
\psplot[linewidth=1pt]{-1.2}{3.2}{\f{x}}
\put(3.1,3.3){$\mathcal{C}_f$}

\psline[linewidth=1pt]{->}(-2,-0.4)(-2,4)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-2.5,0)(5,0)

\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(-1,-0.2)(!-1 \space \f{-1})(!-2 \space \f{-1})
\rput(-1,-0.5){$x$}\rput[r](-2.2,.8){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(3,-0.2)(!3 \space \f{3})(!-2\space\f{3})
\rput(3,-0.5){$y$}\rput[r](-2.2,3){$f(y)$}
% et le trap\`eze
\pscustom{
  \psline(!-1\space\f{-1})(!3\space\f{3}) \gsave
  \psline(3,0)(-1,0)
  %\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  \fill[fillstyle=hlines,hatchsep=10pt,hatchwidth=1.4pt,hatchcolor=red]
  \grestore
}
\end{pspicture}\]

Assez clairement, graphiquement, si $f$ est affine alors les deux domaines, et leurs aires, coïncident. Il s'agit alors de le démontrer, et de montrer qu'on a ainsi toutes les fonctions qui vérifient la relation $(E)$.

Condition suffisante: Si $f$ est une fonction affine alors elle est dérivable sur $\R$ et il existe $(a,b) \in \R^2$ tel que $f(x)=ax+b$. On calcule alros facilement les 2 membres de $(E)$, et on observe bien qu'ils sont égaux à $\dfrac{y-x}{2}\tm(a(x+y)+2b)$ et donc $f$ vérifie $(E)$.

Réciproquement: Soit $f$ dérivable sur $\R$ et vérifiant $(E)$.
$f$ est dérivable donc continue sur $\R$ et admet donc des primitives. Soit $F$ une primitive de $f$, alors $(E)$ s'écrit
\[\forall (x,y) \in \R^2, F(y)-F(x) = \dfrac{y-x}{2} (f(x)+f(y))\]


Fixons $x$ et dérivons par rapport à $y$, on obtient par produit de fonctions dérivables :
\[\begin{array}{ll}\forall y \in \R, &F'(y)=f(y) = \dfrac{1}{2} (f(x)+f(y)) + \dfrac{y-x}{2} f'(y)\\[1em]
&\iff\dfrac{1}{2} (f(y)-f(x)) = \dfrac{y-x}{2} f'(y)\\[.8em]
&\iff f(y)-f(x) = (y-x) f'(y)
\enar\]

En prenant, par exemple $x=0$, on obtient la relation
\[f(y)-f(0)=yf'(y)\]



En échangeant les rôles de $x$ et de $y$, on obtient cette fois:
\[\forall x \in \R,  (f(y)-f(x)) = (y-x) f'(x)\]

On prend alors de même que précédemment $x = 0$, et on obtient cette fois
\[f(y)-f(0)=yf'(x)\]

On obtient donc
\[f(y)-f(0)=yf'(y)=yf'(x)\]

soit
\[\forall y\in\R, \ y\Bigl( f'(y)-f'(0)\Bigr)=0\]

et donc,
\[\forall y\in\R, \ f'(y)-f'(0)=0 \iff f'(y)=f'(0)\]

Ainsi $f'$ est constante, et donc $f$ est une fonction affine.


On a donc montré que les fonctions dérivables sur $\R$ et vérifiant $(E)$ sont exactement les fonctions affines.

Cacher la correction


Tag:Intégrale

Autres sujets au hasard: Lancer de dés
LongPage: h2: 0 - h3: 0