Fonction de répartition et nouvelle densité


Soit $F$ une fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
  1. Montrer que $\dsp\lim_{a\to+\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=1$ et que $\dsp\lim_{a\to-\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=0$
  2. Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par l'expression
    \[g(x)=F(x+1)-F(x)\]

    est une densité de probabilité.

Correction
  1. On sait que $F$ est croissante sur $\R$, et que $\dsp\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$.

    On utilise la croissance de la fonction pour l'encadrer:

    \[\forall x\in[a;a+1], \quad 
  F(a)\leq F(x)\leq F(a+1)\]
    et donc, en intégrant,
    \[\int_a^{a+1}F(a)dx\leq\int_a^{a+1}F(x)dx\leq\int_a^{a+1}F(a+1)dx\]

    soit
    \[F(a)\leq\int_a^{a+1}F(x)dx\leq F(a+1)\]

    On a de plus par hypothèse sur la limite de $f$,
    \[\lim_{a\to+\infty}F(a)=\lim_{a\to+\infty}F(a+1)=1\]

    et donc, par le théorème des gendarmes,
    \[\lim_{a\to+\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=1\]


    À partir du même encadrement, et comme
    \[\lim_{a\to-\infty}F(a)=\lim_{a\to-\infty}F(a+1)=0\]

    on a alors aussi
    \[\lim_{a\to-\infty}\int_a^{a+1}F(x)dx=0\]


  2. Il faut vérifier trois points:
    • $F$ est continue sur $\R$ en tant que fonction de répartition d'une variable à densité, et donc $g$ est continue comme composée de fonctions continues.
    • $g$ est positive car $F$ étant une fonction de répartition elle est en particulier croissante, et donc, pour tout réel $x$

      \[F(x+1)\geq F(x) \Longrightarrow g(x)\geq0\]

    • il faut enfin que $\int_\R g$ existe (converge) et soit égale à 1.

      Soit donc deux réels $a<b$, alors
      \[\begin{array}{ll}\dsp\int_a^bg(x)dx
    &=\dsp\int_a^b\bigl(F(x+1)-F(x)\bigr)dx\\
    &=\dsp\int_a^b F(x+1)dx-\int_a^b F(x)dx\enar\]

      et en effectuant le changement de variable affine $t=x+1$ dans la première intégrale:
      \[\int_a^bg(x)dx=\int_{a+1}^{b+1}F(t)dt-\int_a^bF(x)dx\]

      puis, par la relation de Chasles,
      \[\int_a^bg(x)dx=\int_b^{b+1}F(x)dx-\int_a^{a+1}F(x)dx\]

      Enfin, d'après la première question on trouve que, lorsque $a\to-\infty$ et $b\to+\infty$,
      \[\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=1-0=1\]

    Ainsi la fonction $g$ définie bien une densité de probabilité.


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Tag:Variables aléatoires continues

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