Équation de la tangente à un cercle passant par un point donné
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Géométrie plane cartésienneGéométrie plane cartésienne, géométrie et coordonnées dans le plan
Énoncé du sujet
Dans le plan muni d'un repère orthonormal
,
déterminer les équations des tangentes au cerle
de centre
et de rayon 5 et qui passent par
.
![$\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5/1.png)
![$A(-2;1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5/2.png)
![$B(5;2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5/3.png)
Correction
un point de tangence sur le cercle,
alors on a
![\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{BT}=(x+2)(x-5)+(y-1)(y-2)=0\\[.5em]
AT^2=(x+2)^2+(y-1)^2=5^2=25
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
x^2+y^2+4x-2y-20=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
7x+y-12=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+(-7x+12)^2-3x-3(-7x+12)-8=50x^2-150x+100=0\\[.5em]
y=-7x+12=0
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/2.png)
est une racine évidente du trinôme,
la 2ème racine étant alors
.
On trouve donc deux possibilités:
et
.
Soit
un point d'une tangente, alors
![\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_1}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff3(x-5)+4(y-2)=0\\[.4em]&\iff3x+4y-23=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/8.png)
ou
![\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_2}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff4(x-5)+1(y-2)=0\\[.4em]&\iff 4x+y-22=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/9.png)
Correction
Soit![$T(x;y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/1.png)
![\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{BT}=(x+2)(x-5)+(y-1)(y-2)=0\\[.5em]
AT^2=(x+2)^2+(y-1)^2=5^2=25
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
x^2+y^2+4x-2y-20=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
7x+y-12=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+(-7x+12)^2-3x-3(-7x+12)-8=50x^2-150x+100=0\\[.5em]
y=-7x+12=0
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/2.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/3.png)
![$x=\dfrac{100}{50}=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/4.png)
On trouve donc deux possibilités:
![$T_1(1;5)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/5.png)
![$T_2(2;2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/6.png)
Soit
![$M(x;y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/7.png)
![\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_1}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff3(x-5)+4(y-2)=0\\[.4em]&\iff3x+4y-23=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/8.png)
ou
![\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_2}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff4(x-5)+1(y-2)=0\\[.4em]&\iff 4x+y-22=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/9.png)
Tag:Géométrie plane cartésienne
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