Ensemble de matrices stable par produit


Pour $a\in\R$ on pose $M(a)=\lp\begin{array}{ccc}1-2a&a&a\\a&1-2a&a\\a&a&1-2a\enar\rp$ et $\mathcal{F}=\Bigl\{ M(a) \text{ avec } a\in\R\Bigr\}$.
  1. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a $M(a)\times M(b) = M(a+b-3ab)$.
  2. Soit $a\in\R$. Montrer que $\left( M(a)\rp^n\in\mathcal{F}$ pour tout entier $n$.
  3. Déterminer les éléments de $\mathcal{F}$ qui sont inversibles.

Correction
  1. Le produit matriciel donne le résultat $M(a)\times M(b) = M(a+b-3ab)$.
  2. Par récurrence: $I_3=M(0)=\left( M(a)\rp^0\in\mathcal{F}$ et $M(a)=\left( M(a)\rp^1\in\mathcal{F}$.
    Si on suppose que $\left( M(a)\rp^n\in\mathcal{F}$, c'est-à-dire que $\left( M(a)\rp^n=M(\alpha)$ pour un certain réel $\alpha$, alors
    \[\begin{array}{ll}\left( M(a)\rp^{n+1}&=\left( M(a)\rp^n\times M(a)\\
  &=M(\alpha)\times M(a)\\
  &=M(\alpha+a)\in\mathcal{F}\enar\]


    On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $\left( M(a)\rp^n\in\mathcal{F}$.
  3. Comme $M(a)\times M(b) = M(a+b-3ab)$ et $M(0)=I_3$, pour trouver l'inverse de de $M(a)$ il suffit de trouver $b$ tel que $a+b-3ab=0$, soit, si $a\not=\dfrac13$, $b=\dfrac{a}{3a-1}$.
    Ainsi, pour $a\not=\dfrac13$, $M(a)$ est inversible et
    \[\left( M(a)\rp^{-1}=M\left(\dfrac{a}{3a-1}\rp\]



    Si $a=\dfrac13$, on a, pour tout réel $b$,
    \[M\lp\dfrac13\rp\times M(b)=M\lp\dfrac13+b-b\rp=M\lp\dfrac13\rp\]

    ce qui montre que $M\lp\dfrac13\rp$ n'est pas inversible.

    On aurait aussi pu le montrer en écrivant la matrice
    \[M\lp\dfrac13\rp=\dfrac13\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\enar\rp\]

    qui est une matrice de rang 1, donc non inversible.


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Tag:Matrices

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