Ensemble de matrices stable par produit
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Pour
on pose
et
.
![$a\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/E2/1.png)
![$M(a)=\lp\begin{array}{ccc}1-2a&a&a\\a&1-2a&a\\a&a&1-2a\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/E2/2.png)
![$\mathcal{F}=\Bigl\{ M(a) \text{ avec } a\in\R\Bigr\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/E2/3.png)
- Montrer que pour tous réels
et
on a
.
- Soit
. Montrer que
pour tout entier
.
- Déterminer les éléments de
qui sont inversibles.
Correction
Correction
- Le produit matriciel donne le résultat
.
- Par récurrence:
et
.
Si on suppose que, c'est-à-dire que
pour un certain réel
, alors
On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier,
.
- Comme
et
, pour trouver l'inverse de de
il suffit de trouver
tel que
, soit, si
,
.
Ainsi, pour,
est inversible et
Si, on a, pour tout réel
,
ce qui montre quen'est pas inversible.
On aurait aussi pu le montrer en écrivant la matrice
qui est une matrice de rang 1, donc non inversible.
Tag:Matrices
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