Endomorphisme de polynômes


oral HEC, BL - 2022.

On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions $e_1$, $e_1$, $e_2$ par:
\[e_0(t) = 1 ,\ e_1(t) = t , \  e_2 (t) = t^2\]

pour tout réel $t$.
On rappelle que la famille $(e_0, e_1, e_2)$ est une base de $E$. On considère l'application $\varphi$ qui, à toute fonction $P$ de $E$, associe la fonction, notée $\varphi(P)$, définie par:
\[\forall x\in\R,
\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)dt\]

  1. Question de cours : Critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire.
  2. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
    1. Écrire la matrice $A$ de $\varphi$ dans la base $(e_0, e_1, e_2)$.
    2. Justifier que $\varphi$ est un automorphisme de $E$.
    3. L'endomorphisme $\varphi$ est-il diagonalisable?
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe un réel $u_n$ tel que:
      \[A^n=\lp\begin{array}{ccc}1&\frac{n}2&u_n\\0&1&n\\0&0&1\enar\rp\]

    2. En déduire, par sommation, l'expression de $u_n$ pour tout entier $n$.

Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation
  1. Une matrice est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre.
    Or une matrice triangulaire a ses valeurs propres directement sur sa diagonale.
    Ainsi, une matrice triangulaire est inversible si et seulement ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
  2. La linéarité de $\varphi$ découle directement de la linéarité de l'intégrale. En effet, soit $\lambda$ et $\mu$ deux réels et $P$ et $Q$ deux polynômes de $E$, alors, pour tout réel $x$,
    \[\begin{array}{ll}\varphi(\lambda P+\mu Q)(x)&=\dsp\int_0^1\biggl(\lambda P+\mu Q\biggr)(x+t)dt\\
  &=\dsp\int_0^1\biggl(\lambda P(x+t)+\mu Q(x+t)\biggr)dt\\
  &=\dsp\lambda\int_0^1P(x+t)+\mu \int_0^1Q(x+t))dt\\
  &=\lambda\varphi(P)(x)+\mu\varphi(Q)(x)\enar\]

    c'est-à-dire que
    \[\varphi(\lambda P+\mu Q)=\lambda\varphi(P)+\mu\varphi(Q)\]

    et cette application est donc bien linéaire.

    Il reste maintenant à montrer que pour $P\in E$, on a aussi $\varphi(P)\in E$.
    On peut le montrer on prenant un polynôme quelconque de $E$, soit $P(x)=ax^2+bx+c$, et calculer $\varphi(P)(x)$.
    Plus simplement, on peut mettre à profit la linéarité que l'on veint de démontrer et donc séparer le calcul précédent en les calculs de $\varphi(e_0)$, $\varphi(e_1)$ et $\varphi(e_2)$.
    On a
    \[\varphi(e_0)(x)=\int_0^11dt=1\]

    puis
    \[\begin{array}{ll}\varphi(e_1)(x)&=\dsp\int_0^1(x+t)dt\\
  &=\left[ xt+\dfrac12t^2\rb_0^1\\
  &=x+\dfrac12\enar\]

    et enfin
    \[\begin{array}{ll}\varphi(e_2)(x)&=\dsp\int_0^1(x+t)^2dt\\
  &=\dsp\int_0^1\left( x^2+2xt+t^2\right) dt\\
  &=x^2+x+\dfrac13\enar\]


    On trouve ainsi que $\varphi(e_0)\in E$, $\varphi(e_1)\in E$, et $\varphi(e_2)\in E$, et donc, par linéarité, pour tout $P\in E$, on a $\varphi(P)\in E$, c'est-à-dire que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
    1. D'après les calculs précédents, on a trouvé que
      \[\varphi(e_0)=e_0\]

      et
      \[\varphi(e_1)=e_1+\dfrac12e_0\]

      et
      \[\varphi(e_2)=e_2+e_1+\dfrac13e_0\]

      On a donc la matrice de $\varphi$ dans la base $(e_0, e_1, e_2)$,
      \[A=\lp\begin{array}{ccc}1&1/2&1/3\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp\]


    2. La matrice $A$ est triangulaire supérieure, et d'après la question de cours, on sait ici qu'elle est donc inversible, et l'application $\varphi$ est donc un automorphisme.
    3. Les valeurs propres de $A$ sont sur sa diagonale: 1 est l'unique valeur propre de $A$.
      Si $A$ était diagonalisable, elle serait donc semblable à la matrice diagonale qui ne comporte que des 1 dans sa diagonale: l'identité $I_3$.
      On aurait alors $A=PI_3P^{-1}=PP^{-1}=I_3$, ce qui n'est pas le cas. Ainsi, $\varphi$ n'est pas diagonalisable.

  3. On peut démontrer ce résultat par récurrence. Cette expression est vraie pour $n=0$, en prenant $u_0=0$.
    Puis, sin on suppose que cette expression de $A^n$ est vraie pour un certain entier $n$, alors le calcul de $A^{n+1}=A^nA$ vérifie encore l'expression voulue, si tant est que
    \[u_{n+1}=u_n+\dfrac12n+\dfrac13\]


    Avec cette expression de $u_n$, le principe de récurrence montre alors que l'expression de $A^n$ est vraie pour tout entier $n$.
  4. On a trouvé que
    \[u_{k+1}-u_k=\dfrac12k+\dfrac13\]

    et donc, en sommant,
    \[\sum_{k=0}^{n-1}\left( u_{k+1}-u_k\rp=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac12k+\dfrac13\rp\]

    La somme de gauche est télescopique, et on trouve donc
    \[u_n-u_0=\dfrac12\sum_{k=0}^{n-1}k+\dfrac13\sum_{k=0}^{n-1}1\]

    et donc, avec $u_0=0$,
    \[u_n=\dfrac12\,\dfrac{(n-1)n}2+\dfrac13n=\dfrac{n(3n+1)}{12}\]



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