Endomorphisme de carré nul


Soit $f$ un endomorphisme non nul d'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension 3, tel que $f\circ f=0$.
  1. Montrer que $\text{Im}(f)\subset\ker(f)$. Quel est le rang de $f$ ?
  2. Montrer qu'il existe un vecteur $e_1$ de $E\setminus\ker(f)$ et un vecteur $e_2$ de $\ker(f)$ tels que $\left( e_1, f(e_1), e_2\rp$ soit une base de $E$. Écrire la matrice de $f$ dans cette base.
  3. Donner un exemple d'un tel endomorphisme dans $\R^3$.

Correction
Oral ENSAE - 2017
  1. Soit $y\in\text{Im}(f)$, alors il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$.
    On a alors $f(y)=f\left( f(x)\rp=f\circ f(x)=0$, ce qui signifie que $y\in\ker(f)$, et donc l'inclusion $\text{Im}(f)\subset\ker(f)$.

    D'après le théorème du rang, on a
    \[\text{rg}(f)+\dim(\ker(f))=\dim(E)=3\]

    avec, d'après le résultat précédent, $\text{rg}(f)=\dim(\text{Im}(f))\leqslant\dim(\ker(f))$ et on a donc
    \[3=\text{rg}(f)+\dim(\ker(f))\geqslant \text{rg}(f)+\text{rg}(f)\]

    d'où
    \[\text{rg}(f)\leqslant\dfrac32\]

    De plus, comme $f$ n'est pas l'application nulle, on a $\text{rg}(f)\geqslant1$.
    Finalement, on a trouvé $\text{rg}(f)=1$ et alors $\ker(f)=2$.
  2. On commence par construire une base du noyau, de dimension 2. Soit $e_1\in E\setminus\ker(f)$. On a alors $f(e_1)\not=0$, et aussi $f(f(e_1))=f\circ f(e_1)=0$ et donc $f(e_1)\in\ker(f)$.
    On complète ce vecteur par un vecteur $e_2$ tel que $(f(e_1),e_2)$ soit une base de $\ker(f)$.
    Il s'agit alors de montrer que la famille $(e_1,f(e_1),e_2)$ est une base $E$.
    Il suffit de montrer que cette famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est libre.

    Soit $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels tels que $\alpha e_1+\beta f(e_1)+\gamma e_2=0$, alors, en appliquant $f$, on obtient aussi, puisque $f(e_1)$ et $e_2$ sont des éléments de $\ker(f)$,
    \[\alpha f(e_1)+\beta f\circ f(e_1)+\gamma f(e_2)=0
  \iff\alpha f(e_1)=0\]

    d'où $\alpha=0$ puisque aussi $f(e_1)\not=0$.
    On a donc maintenant la relation
    \[\beta f(e_1)+\gamma e_2=0\]

    or $(f(e_1),e_2)$ est une base de $\ker(f)$, en particulier la famille est libre, et la relation précédente implique donc que $\beta=\gamma=0$.

    Finalement, on a bien montré que $(e_1,f(e_1),e_2)$ forme une base de $E$.

    Dans cette base $\left( v_1=e_1; v_2=f(e_1); v_3=e_2\rp$ on a directement $f(v_1)=v_2$ et $f(v_2)=f(v_3)=0$, d'où la matrice de $f$ dans cette base
    \[\lp\begin{array}{ccc}
  0&0&0\\
  1&0&0\\
  0&0&0\enar\rp\]

  3. L'endomorphisme $f$ canoniquement associé à la matrice précédente est un exemple de tel endomorphisme: non nul et tel que $f\circ f=0$.


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