Convergence de Série harmonique alternée
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
On considère la suite
définie par la somme
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex16/1.png)
![$u_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex16/2.png)
- En calculant les premiers termes de cette suite, montrer qu'elle n'est pas monotone.
- On pose
et
, Montrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?
Correction
Correction
- On a
,
et
.
Ainsi,mais
. La suite n'est pas ni croissante, ni décroissante.
-
ce qui montre queest décroissante.
De même,
ce qui montre que la suiteest croissante.
Enfin,et donc,
.
On déduit des trois résultats prcédents queet
sont adjacentes et que, en particulier ces deux suites sont convergentes vers la même limite
.
De plus, commeet
sont les deux sous-suites extraites de
de rangs respectivement pairs et impairs, on en déduit que
converge aussi vers la même limite.
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