Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau
Soient trois -espaces vectoriels,
et soient
et .
Démontrer que
Démontrer que
Correction
Supposons .
Soit alors , c'est-à-dire qu'il existe tel que .
On a donc , d'où et on a donc obtenu que .
Réciproquement, supposons que .
Soit alors , alors, par définition et donc, par hypothèse , c'est-à-dire , ou encore, ceci étant valable pour tout , .
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Supposons .
Soit alors , c'est-à-dire qu'il existe tel que .
On a donc , d'où et on a donc obtenu que .
Réciproquement, supposons que .
Soit alors , alors, par définition et donc, par hypothèse , c'est-à-dire , ou encore, ceci étant valable pour tout , .
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Tag:Applications linéaires
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