Caractériation complexe de l'égalité triangulaire
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ComplexesNombres complexs
Énoncé du sujet
Soit
. Montrer que
si et seulement si
.
![$(z;z')\in\C^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01/1.png)
![$|z|+|z'|=|z+z'|$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01/2.png)
![$\overline{z}z'\in\R_+$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01/3.png)
Correction
est une égalité
si et seulement si
,
.
Dans ce cas on a alors
.
Cette condition est aussi suffisante: soit
et
,
avec
et
.
On a alors
,
et donc
d'où
et
avec
.
Correction
L'inégalité triangulaire![$|z|+|z'|\geqslant |z+z'|$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/1.png)
![$z'=\alpha z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/2.png)
![$\alpha\in\R_+$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/3.png)
![$\overline{z}z'=\alpha|z|^2\in\R_+$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/4.png)
Cette condition est aussi suffisante: soit
![$z=\alpha e^{i\theta}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/5.png)
![$z'=\alpha' e^{i\theta'}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/6.png)
![$\alpha\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/7.png)
![$\alpha'\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/8.png)
On a alors
![$\overline{z}z'=\alpha\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/9.png)
![$\overline{z}z'\in\R_+\iff \theta\equiv\theta'\,[2\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/10.png)
![$z=\alpha e^{i\theta}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/11.png)
![$z'=\alpha' e^{i\theta'}=\alpha' e^{i\theta}=\lambda z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/12.png)
![$\lambda=\dfrac{\alpha'}{\alpha}\in\R_+$](/Generateur-Devoirs/Colles/Complexes/ex0.01_c/13.png)
Tag:Complexes
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