Calcul matriciel - Inverse
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
.
Calculer
.
En déduire que
est inversible, et calculer
.
![$A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2/1.png)
![$A^2-3A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2/2.png)
En déduire que
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2/3.png)
![$A^{-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2/4.png)
Correction
,
et donc,
.
On a donc aussi trouvé que
,
soit aussi,
,
ce qui montre que
est inversible avec
.
Correction
![$A^2=AA
=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\right)
\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\right)
=\lp\begin{array}{ccc}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2_c/1.png)
et donc,
![$A^2-3A=\lp\begin{array}{ccc}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\enar\rp=-2I$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2_c/2.png)
On a donc aussi trouvé que
![$\dfrac12\left( -A^2+3A\rp=I$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2_c/3.png)
![$A\dfrac12\lp-A+3I\rp=\dfrac12\lp-A+3I\rp A=I$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2_c/4.png)
ce qui montre que
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2_c/5.png)
![$A^{-1}=\dfrac12\lp-A+3I\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/ex2_c/6.png)
Tag:Matrices
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