Calcul d'une somme


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • SommesSommes des termes d'une suite

Énoncé du sujet

On pose $S=\dsp\sum_{k=1}^{99}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.
Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$, $\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ et calculer la valeur exacte de $S$.


Correction

Correction

Pour tout entier naturel non nul $k$,
\[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\tm\dfrac{-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}
&=\dfrac{-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{-k+(k+1)}\\[.8em]
&=-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\enar\]


On a alors,
\[\begin{array}{ll}S&=\dsp\sum_{k=1}^{99}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\\[1em]
&=\dsp\sum_{k=1}^{99}-\sqrt{k}+\sqrt{k+1} \\[.5em]
&=\dsp-\sum_{k=1}^{99}\sqrt{k}+\sum_{k=1}^{99}\sqrt{k+1} \\[.5em]
&=\dsp-\sum_{k=1}^{99}\sqrt{k}+\sum_{k=2}^{100}\sqrt{k} \\[.5em]
&=-\sqrt1+\sqrt{100}=9\enar\]



Tag:Sommes

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:
LongPage: h2: 3 - h3: 0