Jeu du chaos
Autosimilarité fractale dans un polygone
Principe
Le jeu du chaos a été introduit par Michael Barnsley pour désigner une méthode simple et rapide de génération de motifs fractals.C'est un algorithme simple et efficace pour construire l'attracteur d'un système de fonctions itérées (IFS).
On se place dans un polygone à
![$N$](fich-chaos-tmp-IMG/1.png)
![$S_1$](fich-chaos-tmp-IMG/2.png)
![$S_2$](fich-chaos-tmp-IMG/3.png)
![$S_N$](fich-chaos-tmp-IMG/4.png)
![$k<1$](fich-chaos-tmp-IMG/5.png)
On part d'un point initial
![$M_1$](fich-chaos-tmp-IMG/6.png)
On tire ensuite un sommet
![$S_i$](fich-chaos-tmp-IMG/7.png)
![$M_2$](fich-chaos-tmp-IMG/8.png)
![$k$](fich-chaos-tmp-IMG/9.png)
![$M_1$](fich-chaos-tmp-IMG/10.png)
![$S_i$](fich-chaos-tmp-IMG/11.png)
Plus précisément
![$M_2$](fich-chaos-tmp-IMG/12.png)
![$\overrightarrow{M_2S_i}=k\overrightarrow{M_1S_i}$](fich-chaos-tmp-IMG/13.png)
Pour
![$k=\dfrac12$](fich-chaos-tmp-IMG/14.png)
![$M_2$](fich-chaos-tmp-IMG/15.png)
![$[M_1S_i]$](fich-chaos-tmp-IMG/16.png)
On tire un nouveau sommet au hasard
![$S_j$](fich-chaos-tmp-IMG/17.png)
![$M_3$](fich-chaos-tmp-IMG/18.png)
![$\overrightarrow{M_3S_j}=k\overrightarrow{M_2S_j}$](fich-chaos-tmp-IMG/19.png)
On réitère ensuite pour construire autant de point que souhaité…
Avec trois sommets et un rapport
![$k=\dfrac12$](fich-chaos-tmp-IMG/20.png)
Résultats, animation
On peut ici faire varier le nombre sommets, le nombre points tracés, et aussi le rapport de contraction, éventuellement en affectant un rapport différent à chaque sommet.Variantes
Un des avantages du jeu du chaos est qu'on peut facilement jouer (justement…) avec les règles. On peut par exemple imposer qu'un même sommet ne soit pas choisi deux fois consécutivement![](/MathAppli/Fractales-IFS-Jeu-du-chaos/IMG/Polygone-Chaos-game-Variante-img.png)
![](/MathAppli/Fractales-IFS-Jeu-du-chaos/IMG/Polygone-Chaos-game-Variante-Zone-Inerdite-img.png)