Exemples d'IFS et fractales
Exemples - Quelques fractales et IFS
Triangle de Sierpiński
Le triangle de Sierpiński se construit à partir d'un triangle




![\[\la\begin{array}{ll}
f_1(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em]
f_2(x,y)&=\lp\dfrac{x+1}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em]
f_3(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y+1}{2}\right)
\enar\right.\]](fich-chaos-IMG/137.png)
Géométriquement, si


![$[MA]$](fich-chaos-IMG/140.png)

![$[MB]$](fich-chaos-IMG/142.png)

![$[MC]$](fich-chaos-IMG/144.png)
Ce sont trois homothéties de rapport

À noter aussi, le lien (surprenant ?) avec le triangle de Pascal

Courbe du dragon 
La courbe du dragon utilise deux fonctions


![\[\la\begin{array}{l}
f_1(z)=\dfrac{(1+i)z}{2} \\[.8em]
f_2(z)=1-\dfrac{(1-i)z}{2}
\enar\right.\]](fich-chaos-IMG/148.png)
ou encore dans le plan

![\[\la\begin{array}{l}
f_1(x,y)=\lp\dfrac{x-y}{2},\dfrac{x+y}{2}\right) \\[1em]
f_2(x,y)=\lp1-\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2}\right)
\enar\right.\]](fich-chaos-IMG/150.png)




![\[\left|f_1(z)-f_1(z')\right|
=\left|\dfrac{(1+i)}{2}\left( z-z'\rp\right|
=\dfrac{\left|1+i\right|}{2}\,|z-z'|
=\dfrac{\sqrt2}{2}|z-z'|\]](fich-chaos-IMG/155.png)
et
![\[\left|f_2(z)-f_2(z')\right|
=\left|\dfrac{(1-i)}{2}\left( z'-z\rp\right|
=\left|\dfrac{(1-i)}{2}\right|\,\left|z-z'\right|
=\dfrac{\sqrt2}{2}\,\left|z-z'\right|
\]](fich-chaos-IMG/156.png)
avec pour les deux fonctions le rapport de contraction

Courbe de Lévy

La courbe de Lévy est définie comme l'attracteur de l'IFS défini par les deux fonctions, dans le plan complexe:
![\[\la\begin{array}{ll}
f_1(z)&=z\dfrac{1+i}{2}\\[1em]
f_2(z)&=z\dfrac{1-i}{2}+\dfrac{1+i}{2}
\enar\right.\]](fich-chaos-IMG/158.png)
ou encore, dans le plan,
![\[\la\begin{array}{ll}
f_1(x,y)&=\left( \dfrac{x-y}{2}, \dfrac{x+y}{2}\rp\\[1em]
f_2(x,y)&=\lp\dfrac{x+y+1}{2},\dfrac{-x+y+1}{2}\right)
\enar\right.\]](fich-chaos-IMG/159.png)
La première fonction







Un exemple de système dynamique: l'attracteur d'Ikeda 
Ikeda a utilisé ce système dynamique pour modéliser la propagation de la lumière à travers un résonateur optique non linéaire.
Ce modèle dynamique s'écrit, dans le plan complexe, par l'ensemble des points dont les affixes

![\[z_{n+1}=f(z_n)\]](fich-chaos-IMG/168.png)
avec la fonction
![\[f(z)=A + B z e^{iK/(|z|^2 + 1 ) + C}\]](fich-chaos-IMG/169.png)
soit la définition par récurrence:
![\[ z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}\]](fich-chaos-IMG/170.png)
Dans le plan réel


![\[\la\begin{array}{ll}
x_{n+1}&=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n})\\[.6em]
y_{n+1}&=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n})
\enar\right.\]](fich-chaos-IMG/173.png)
où

![\[t_n=0,4-{\dfrac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\]](fich-chaos-IMG/175.png)