IFS, fractales & jeu du chaos

Exemples - Quelques fractales et IFS


Triangle de Sierpiński



Le triangle de Sierpiński se construit à partir d'un triangle $ABC$, par exemple $A(0,0)$, $B(1,0)$ et $C(0,1)$ et des trois fonctions associées:
\[\la\begin{array}{ll} f_1(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em] f_2(x,y)&=\lp\dfrac{x+1}{2},\dfrac{y}{2}\rp\\[1em] f_3(x,y)&=\lp\dfrac{x}{2},\dfrac{y+1}{2}\right) \enar\right.\]


Géométriquement, si $M(x,y)$, alors le point image $M'\left( f_1(x,y)\rp$ est le milieu de $[MA]$, $M'\left( f_2(x,y)\rp$ est le milieu de $[MB]$, et $M'\left( f_3(x,y)\rp$ est le milieu de $[MC]$.
Ce sont trois homothéties de rapport $\dfrac12$, donc contractantes de même rapport.

À noter aussi, le lien (surprenant ?) avec le triangle de Pascal


Courbe du dragon

La courbe du dragon utilise deux fonctions $f_1$ et $f_2$ définies dans le plan complexe par
\[\la\begin{array}{l} f_1(z)=\dfrac{(1+i)z}{2} \\[.8em] f_2(z)=1-\dfrac{(1-i)z}{2} \enar\right.\]

ou encore dans le plan $\R^2$,
\[\la\begin{array}{l} f_1(x,y)=\lp\dfrac{x-y}{2},\dfrac{x+y}{2}\right) \\[1em] f_2(x,y)=\lp1-\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2}\right) \enar\right.\]


$f_1$ et $f_2$ sont bien contractantes car, pour tout $z$ et $z'$ complexes,
\[\left|f_1(z)-f_1(z')\right| =\left|\dfrac{(1+i)}{2}\left( z-z'\rp\right| =\dfrac{\left|1+i\right|}{2}\,|z-z'| =\dfrac{\sqrt2}{2}|z-z'|\]

et
\[\left|f_2(z)-f_2(z')\right| =\left|\dfrac{(1-i)}{2}\left( z'-z\rp\right| =\left|\dfrac{(1-i)}{2}\right|\,\left|z-z'\right| =\dfrac{\sqrt2}{2}\,\left|z-z'\right| \]

avec pour les deux fonctions le rapport de contraction $k=\dfrac{\sqrt2}{2}<1$.


Courbe de Lévy


La courbe de Lévy est définie comme l'attracteur de l'IFS défini par les deux fonctions, dans le plan complexe:
\[\la\begin{array}{ll} f_1(z)&=z\dfrac{1+i}{2}\\[1em] f_2(z)&=z\dfrac{1-i}{2}+\dfrac{1+i}{2} \enar\right.\]

ou encore, dans le plan,
\[\la\begin{array}{ll} f_1(x,y)&=\left( \dfrac{x-y}{2}, \dfrac{x+y}{2}\rp\\[1em] f_2(x,y)&=\lp\dfrac{x+y+1}{2},\dfrac{-x+y+1}{2}\right) \enar\right.\]


La première fonction $f_1$ est une similitude (composée d'une homothétie et d'une rotation) centrée sur l'origine et de rapport $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et d'angle $\dfrac\pi4$; la deuxième fonction $f_2$ est une similitude centrée au point d'affixe $z=1$, de rapport $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et d'angle $-\dfrac\pi4$.


Un exemple de système dynamique: l'attracteur d'Ikeda


Ikeda a utilisé ce système dynamique pour modéliser la propagation de la lumière à travers un résonateur optique non linéaire.
Ce modèle dynamique s'écrit, dans le plan complexe, par l'ensemble des points dont les affixes $z_n$ sont définis par la relation de récurrence,
\[z_{n+1}=f(z_n)\]

avec la fonction
\[f(z)=A + B z e^{iK/(|z|^2 + 1 ) + C}\]


soit la définition par récurrence:
\[ z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}\]


Dans le plan réel $z_n=x_n+iy_n$ et les coordonnées cartésiennes $(x_n;y_n)$ se construisent par récurrence selon:
\[\la\begin{array}{ll} x_{n+1}&=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n})\\[.6em] y_{n+1}&=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}) \enar\right.\]

où $u$ est un paramètre, et

\[t_n=0,4-{\dfrac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\]



Cadre mathématique et démonstrations


Lien


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