variations et TVI

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=xe^{x}$
  1. Étudier le sens de variation de $f$.
  2. Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$, et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

Correction
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=xe^{x}$
  1. On a $f=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$, et alors $f'=u'+uv'$, soit $f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$.
    On a alors
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline $e^x$ && $+$ &&$+$&\\\hline $1+x$ && $-$&0&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$&0&$+$&\\\hline &&&&&\\ $f$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-1/e$&&\\\hline \end{tabular}\]

  2. Sur $[0;+\infty[$, $f$ est continue (et même dérivable), strictement croissante, avec $f(0)<1$ et $f(1)=e\simeq2,7>1$.
    On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou ici le théorème de la bijection) que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha\in[0;1]$ et donc aussi sur $[0;+\infty[$ car $f$ est strictement croissante. Avec la calculatrice, par balayage, ou dichotomie, on trouve $\alpha\simeq0,57$


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