Variation d'une fonction rationnelle
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie sur
par
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar/2.png)
![$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar/3.png)
Correction
On considère la fonction
définie sur
par
.
On a
,
avec
soit
,
et donc,
,
![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=\dfrac{1\left( x^2+3\rp-\left( x+1\rp\left( 2x\rp}{(x^2+3)}\\
&=\dfrac{-x^2-2x+3}{(x^2+3)}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/8.png)
Le trinôme du numérateur a pour discriminant
,
et admet donc deux racines
et
.
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$-x^2-2x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
$\left( x^2+3\rp$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
&&&&&$\frac12$&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,0.4)(0.3,-0.4)
&&\psline{->}(-0.4,-0.4)(0.4,0.4)
&&
\psline{->}(-0.3,0.4)(0.6,-0.4)&
\\
&&&$-\frac16$&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/12.png)
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On considère la fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/2.png)
![$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/3.png)
On a
![$f=\dfrac{u}{v}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/4.png)
![$\la\begin{array}{ll} u(x)=x+1 \\ v(x)=x^2+3 \enar\right.$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/5.png)
![$\la\begin{array}{ll} u'(x)=1 \\ v'(x)=2x \enar\right.$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/6.png)
![$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/7.png)
![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=\dfrac{1\left( x^2+3\rp-\left( x+1\rp\left( 2x\rp}{(x^2+3)}\\
&=\dfrac{-x^2-2x+3}{(x^2+3)}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/8.png)
Le trinôme du numérateur a pour discriminant
![$\Delta=(-2)^2-4(-1)(3)=4^2>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/9.png)
![$x_1=-3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/10.png)
![$x_2=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/11.png)
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$-x^2-2x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
$\left( x^2+3\rp$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
&&&&&$\frac12$&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,0.4)(0.3,-0.4)
&&\psline{->}(-0.4,-0.4)(0.4,0.4)
&&
\psline{->}(-0.3,0.4)(0.6,-0.4)&
\\
&&&$-\frac16$&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/12.png)
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Tag:Fonctions et dérivées
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