Variation d'une fonction rationnelle et équation d'une tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2+5}{x+2}$.
Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.

Correction
$f(x)=\dfrac{x^2+5}{x+2}$. On a $f=\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=x^2+5$ donc $u'(x)=2x$, et $b(x)=x+2$ donc $v'(x)=1$.
On a donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{2x(x+2)-(x^2+5)}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}$
Le numérateur et un trinôme du second degré qui a pour discriminant a $\Delta=36>0$ et admet donc deux racines: $x=1$ et $x=-5$.
Le dénominateur s'annule en $x=-2$ qui est donc une valeur interdite.

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-5$ && $-2$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $x^2+4x-5$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline $(x+2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]


La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation $T_1: y=f'(1)(x-1)+f(1)$, avec $f(1)=\dfrac{1^2+5}{1^2+2}=2$ et $f'(1)=0$, d'où l'équation $T_1: y=2$: la tangente est horizontale.

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Tag:Fonctions et dérivées

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