Variation d'une fonction inverse d'un trinome et équation d'une tangente
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie par
.
Soit
le point de la courbe de
et d'abscisse nulle.
Déterminer les coordonnées de
et l'équation de la tangente à la courbe de
au point
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/1.png)
![$f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/2.png)
Soit
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/4.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/5.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/6.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4/7.png)
Correction
Soit
.
On a
avec
et donc
.
On trouve alors
,
soit
Pour le dénominateur, on a
,
avec le trinôme
qui a pour discriminant
et qui admet donc deux racines réelles distinctes
et
.
On dresse alors le tableau de variation:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline
$-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline
$2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline
&&&&&$-3$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/12.png)
On a
, soit
.
La tangente en
a pour équation
![\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/16.png)
Cacher la correction
Soit
![$f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/1.png)
![$f=3\tm\dfrac1u$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/2.png)
![$u(x)=x^2-4x+3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/3.png)
![$u'(x)=2x-4$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/4.png)
On trouve alors
![$f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/5.png)
![$f'(x)=\dfrac{-3(2x-4)}{(x^2-4x+3)^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/6.png)
Pour le dénominateur, on a
![$(x^2-4x+3)^2\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/7.png)
![$x^2-4x+3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/8.png)
![$\Delta=4>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/9.png)
![$x_1=1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/10.png)
![$x_2=3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/11.png)
On dresse alors le tableau de variation:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline
$-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline
$2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline
&&&&&$-3$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/12.png)
On a
![$A(0;f(0))$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/13.png)
![$A(0;1)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/14.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/15.png)
![\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/16.png)
Cacher la correction
Tag:Fonctions et dérivées
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