Variation d'une fonction inverse d'un trinome et équation d'une tangente
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie par
.
Soit
le point de la courbe de
et d'abscisse nulle.
Déterminer les coordonnées de
et l'équation de la tangente à la courbe de
au point
.


Soit





Correction
.
On a
avec
et donc
.
On trouve alors
,
soit
Pour le dénominateur, on a
,
avec le trinôme
qui a pour discriminant
et qui admet donc deux racines réelles distinctes
et
.
On dresse alors le tableau de variation:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline
$-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline
$2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline
&&&&&$-3$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/12.png)
On a
, soit
.
La tangente en
a pour équation
![\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/16.png)
Correction
Soit



On trouve alors


Pour le dénominateur, on a





On dresse alors le tableau de variation:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline
$-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline
$2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline
&&&&&$-3$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/12.png)
On a



![\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar4_c/16.png)
Tag:Fonctions et dérivées
Voir aussi: