Tangente qui passe par l'origine

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

ROC

$ f$ est une fonction définie et dérivable sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ . $ \mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère d'origine $ O$ . $ A$ est un point de $ \mathcal{C}$ d'abscisse $ a$ .

  1. Démonstration

    Démontrer que la tangente en $ A$ passe par $ O$ si et seulement si $ f(a)=af'(a)$ .

  2. Application

    $ f$ est la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ f(x)=2x^2-3x+1$ .

    Quels sont les abscisses des points de sa courbe représentative en lesquels la tangente passe par l'origine du repère ?


Correction
ROC

  1. La tangente en $ A$ à $ \mathcal{C}$ a pour équation $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Cette tangente passe par l'origine $ O$ si et seulement si $ 0=f'(a)(0-a)+f(a)\iff 0=-af'(a)+f(a)\iff f(a)=af'(a)$ .

  2. D'après la question précédente, les points en lesquels la tangente passe par l'origine sont les points d'abscisse $ a$ tels que $ f(a)=af'(a) \iff 2a^2-3a+1=a\left(4a-3\right) \iff 2a^2-1=0 \iff a^2=\dfrac{1}{2} $ .

    Cette équation du second degré admet deux racines qui sont les abscisses des points recherchés: $ a_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $ a_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .



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